En matemáticas, la descomposición de Cartan es una descomposición de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie , que juega un papel importante en su teoría de la estructura y la teoría de la representación . Generaliza la descomposición polar o descomposición en valor singular de matrices. Su historia se remonta al trabajo de 1880 de Élie Cartan y Wilhelm Killing . [1]
Involuciones de Cartan en álgebras de Lie
Dejar ser un álgebra de mentira semisimple real y dejarsea su forma de Matar . Una involución enes un automorfismo del álgebra de Lie de cuyo cuadrado es igual a la identidad. Tal involución se llama involución de Cartan en Si es una forma bilineal definida positiva .
Dos involuciones y se consideran equivalentes si solo se diferencian por un automorfismo interno .
Cualquier álgebra de Lie semisimple real tiene una involución de Cartan, y dos involuciones de Cartan cualesquiera son equivalentes.
Ejemplos de
- Una involución de Cartan en es definido por , dónde denota la matriz de transposición de .
- El mapa de identidad en es una involución. Es la involución de Cartan única de si y solo si la forma de matar de es negativo definido o, de manera equivalente, si y solo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie semisimple compacto .
- Dejar ser la complejificación de un álgebra de mentira semisimple real, luego conjugación compleja en es una involución en . Esta es la involución de Cartan en si y solo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto.
- Los siguientes mapas son involuciones del álgebra de Lie del grupo unitario especial SU (n) :
- La involución de la identidad , que es la involución de Cartan única en este caso.
- Conjugación compleja , expresable como en .
- Si es impar, . Las involuciones (1), (2) y (3) son equivalentes, pero no equivalentes a la involución de identidad ya que.
- Si es incluso, también hay .
Pares de Cartan
Dejar ser una involución en un álgebra de mentira . Desde, el mapa lineal tiene los dos valores propios . Si y denotar los espacios propios correspondientes a +1 y -1, respectivamente, entonces . Desdees un automorfismo del álgebra de Lie, el corchete de Lie de dos de sus autoespacios está contenido en el autoespacio correspondiente al producto de sus autovalores. Resulta que
- , , y .
Por lo tanto es una subálgebra de mentira, mientras que cualquier subálgebra de es conmutativo.
Por el contrario, una descomposición con estas propiedades extra determina una involución en es decir en y en .
Tal par también se llama un par de Cartan de, y se llama par simétrico . Esta noción de un par de Cartan aquí no debe confundirse con la noción distinta que involucra la cohomología relativa del álgebra de Lie..
La descomposición asociada a una involución de Cartan se llama descomposición de Cartan de. La característica especial de una descomposición de Cartan es que la forma Killing es definida negativa en y positivo definido en . Además, y son complementos ortogonales entre sí con respecto a la forma Killing en .
Descomposición de Cartan a nivel de grupo de Lie
Dejar Ser un grupo de Lie semisimple no compacto y su álgebra de Lie. Dejar ser una involución de Cartan en y deja sea el par de Cartan resultante. Dejarser el subgrupo analítico de con álgebra de mentira . Luego:
- Hay un automorfismo del grupo de Lie. con diferencial en la identidad que satisface .
- El subgrupo de elementos fijado por es ; En particular, es un subgrupo cerrado.
- El mapeo dada por es un difeomorfismo .
- El subgrupo es un subgrupo compacto máximo de .
El automorfismo también se llama involución de Cartan global , y el difeomorfismose llama la descomposición de Cartan global . Si escribimos esto dice que el mapa del producto es un difeomorfismo así que .
Para el grupo lineal general, es una involución de Cartan. [ aclaración necesaria ]
Un refinamiento de la descomposición de Cartan para espacios simétricos de tipo compacto o no compacto establece que las subálgebras abelianas máximas en son únicos hasta la conjugación por . Es más,
dónde .
En el caso compacto y no compacto, la descomposición de Cartan global implica
Geométricamente la imagen del subgrupo en es una subvariedad totalmente geodésica .
Relación con la descomposición polar
Considerar con la involución de Cartan . [ aclaración necesaria ] Entonces es el álgebra de Lie real de matrices simétricas sesgadas, de modo que , tiempo es el subespacio de matrices simétricas. Por tanto, el mapa exponencial es un difeomorfismo deen el espacio de matrices definidas positivas. Hasta este mapa exponencial, la descomposición de Cartan global es la descomposición polar de una matriz. La descomposición polar de una matriz invertible es única.
Ver también
Notas
Referencias
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Matemáticas puras y aplicadas, 80 , Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, MR 0514561
- Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). Una historia del álgebra abstracta . Boston, MA: Birkhäuser. doi : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1 . ISBN 978-0817646844. Señor 2347309 .
- Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Bass, Hyman ; Oesterlé, Joseph ; Alan, Weinstein (eds.). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. 140 (2ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. Señor 1920389 .