En matemáticas , un rango proyectivo es un conjunto de puntos en geometría proyectiva considerados de manera unificada. Un rango proyectivo puede ser una línea proyectiva o una cónica . Un rango proyectivo es el dual de un lápiz de líneas en un punto dado. Por ejemplo, una correlación intercambia los puntos de un rango proyectivo con las líneas de un lápiz. Se dice que una proyectividad actúa de un rango a otro, aunque los dos rangos pueden coincidir como conjuntos.
Un rango proyectivo expresa invariancia proyectiva de la relación de conjugados armónicos proyectivos . De hecho, tres puntos en una línea proyectiva determinan un cuarto por esta relación. La aplicación de una proyectividad a este cuádruple da como resultado cuatro puntos igualmente en la relación armónica. Este cuádruple de puntos se denomina rango armónico . En 1940, Julian Coolidge describió esta estructura e identificó a su creador: [1]
- Dos formas unidimensionales fundamentales como rangos de puntos, lápices de líneas o de planos se definen como proyectivas, cuando sus miembros están en correspondencia uno a uno, y un conjunto armónico de uno ... corresponde a un conjunto armónico de el otro. ... Si dos formas unidimensionales están conectadas por un tren de proyecciones e intersecciones, los elementos armónicos corresponderán a elementos armónicos, y son proyectivos en el sentido de Von Staudt .
Rangos cónicos
Cuando se elige una cónica para un rango proyectivo, y se selecciona como origen un punto E particular de la cónica, la adición de puntos se puede definir de la siguiente manera: [2]
- Deje que A y B estén en el rango (cónico) y AB la línea que los conecta. Sea L la recta que pasa por E y paralela a AB . La "suma de los puntos A y B ", A + B , es la intersección de L con el rango. [ cita requerida ]
El círculo y la hipérbola son instancias de una cónica y la suma de ángulos en cualquiera de ellos se puede generar mediante el método de "suma de puntos", siempre que los puntos estén asociados con ángulos en el círculo y ángulos hiperbólicos en la hipérbola.
Referencias
- ^ JL Coolidge (1940) Una historia de métodos geométricos , página 98, Oxford University Press ( Publicaciones de Dover 2003)
- ^ Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página uno, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, Sociedad matemática estadounidense
- HSM Coxeter (1955) The Real Projective Plane , University of Toronto Press , p. 20 para línea, p. 101 para cónica.