En matemáticas , un ángulo hiperbólico es una figura geométrica que define un sector hiperbólico . La relación de un ángulo hiperbólico a una hipérbola es paralela a la relación de un ángulo "ordinario" a un círculo .
La magnitud del ángulo hiperbólico es el área del sector correspondiente de la hipérbola xy = 1. Esta hipérbola es rectangular con un eje semi-mayor de, análogo a la magnitud de un ángulo circular correspondiente al área de un sector circular en un círculo con radio.
El ángulo hiperbólico se utiliza como variable independiente para las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh, porque estas funciones pueden basarse en analogías hiperbólicas con las funciones trigonométricas circulares correspondientes al considerar un ángulo hiperbólico como la definición de un triángulo hiperbólico . El parámetro se convierte así en uno de los más útiles en el cálculo de variables reales .
Definición
Considere la hipérbola rectangular , y (por convención) prestar especial atención a la rama .
Primero defina:
- El ángulo hiperbólico en la posición estándar es el ángulo en entre el rayo a y el rayo a , dónde .
- La magnitud de este ángulo es el área del sector hiperbólico correspondiente , que resulta ser.
Tenga en cuenta que, debido al papel que juega el logaritmo natural :
- A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites (porquees ilimitado); esto está relacionado con el hecho de que la serie armónica es ilimitada.
- La fórmula para la magnitud del ángulo sugiere que, para , el ángulo hiperbólico debe ser negativo. Esto refleja el hecho de que, tal como se define, el ángulo está dirigido .
Finalmente, amplíe la definición de ángulo hiperbólico al subtendido por cualquier intervalo en la hipérbola. Suponerson números reales positivos tales que y , así que eso y son puntos en la hipérbola y determina un intervalo en él. Luego, el mapeo de compresión mapea el ángulo al ángulo de posición estándar. Por el resultado de Gregoire de Saint-Vincent , los sectores hiperbólicos determinados por estos ángulos tienen la misma área, que se toma como la magnitud del ángulo. Esta magnitud es.
Comparación con ángulo circular
Un círculo unitario tiene un sector circular con un área la mitad del ángulo circular en radianes. Análogamente, una hipérbola unitaria tiene un sector hiperbólico con un área la mitad del ángulo hiperbólico.
También hay una resolución proyectiva entre casos circulares e hiperbólicos: ambas curvas son secciones cónicas y, por lo tanto, se tratan como rangos proyectivos en geometría proyectiva . Dado un punto de origen en uno de estos rangos, otros puntos corresponden a ángulos. La idea de suma de ángulos, básica para la ciencia, corresponde a la suma de puntos en uno de estos rangos de la siguiente manera:
Los ángulos circulares se pueden caracterizar geométricamente por la propiedad de que si dos cuerdas P 0 P 1 y P 0 P 2 subtienden los ángulos L 1 y L 2 en el centro de un círculo, su suma L 1 + L 2 es el ángulo subtendido por una cuerda PQ , donde se requiere que PQ sea paralelo a P 1 P 2 .
La misma construcción también se puede aplicar a la hipérbola. Si se toma P 0 como el punto (1, 1) , P 1 el punto ( x 1 , 1 / x 1 ) y P 2 el punto ( x 2 , 1 / x 2 ) , entonces la condición paralela requiere que Q sea el punto ( x 1 x 2 , 1 / x 1 1 / x 2 ) . Por tanto, tiene sentido definir el ángulo hiperbólico de P 0 a un punto arbitrario de la curva como una función logarítmica del valor del punto de x . [1] [2]
Mientras que en la geometría euclidiana que se mueve constantemente en una dirección ortogonal a un rayo desde el origen traza un círculo, en un plano pseudo-euclidiano que se mueve constantemente ortogonalmente a un rayo desde el origen traza una hipérbola. En el espacio euclidiano, el múltiplo de un ángulo dado traza distancias iguales alrededor de un círculo mientras traza distancias exponenciales sobre la línea hiperbólica. [3]
Tanto el ángulo circular como el hiperbólico proporcionan instancias de una medida invariante . Los arcos con una magnitud angular en un círculo generan una medida en ciertos conjuntos medibles en el círculo cuya magnitud no varía cuando el círculo gira o gira . Para la hipérbola, el giro se realiza mediante mapeo de compresión , y las magnitudes de los ángulos hiperbólicos permanecen iguales cuando el plano es comprimido por un mapeo
- ( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), con r > 0.
Historia
La cuadratura de la hipérbola es la evaluación del área de un sector hiperbólico . Se puede demostrar que es igual al área correspondiente frente a una asíntota . La cuadratura fue realizada por primera vez por Gregoire de Saint-Vincent en 1647 en su trascendental Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni . Como lo expresó un historiador,
- [Hizo la] cuadratura de una hipérbola a sus asíntotas , y mostró que a medida que el área aumentaba en series aritméticas, las abscisas aumentaban en series geométricas . [4]
AA de Sarasa interpretó la cuadratura como un logaritmo y así el logaritmo natural definido geométricamente (o "logaritmo hiperbólico") se entiende como el área bajo y = 1 / x a la derecha de x = 1 . Como ejemplo de función trascendental , el logaritmo es más familiar que su motivador, el ángulo hiperbólico. Sin embargo, el ángulo hiperbólico juega un papel cuando se avanza el teorema de Saint-Vincent con mapeo de compresión .
La trigonometría circular fue ampliada a la hipérbola por Augustus De Morgan en su libro de texto Trigonometry and Double Algebra . [5] En 1878, WK Clifford utilizó el ángulo hiperbólico para parametrizar una hipérbola unitaria , y la describió como " movimiento cuasi- armónico ".
En 1894, Alexander Macfarlane hizo circular su ensayo "El imaginario del álgebra", que utilizaba ángulos hiperbólicos para generar versores hiperbólicos , en su libro Papers on Space Analysis . [6] El año siguiente, el Bulletin of the American Mathematical Society publicó el esquema de Mellen W. Haskell de las funciones hiperbólicas . [7]
Cuando Ludwik Silberstein escribió su popular libro de texto de 1914 sobre la nueva teoría de la relatividad , utilizó el concepto de rapidez basado en el ángulo hiperbólico a , donde tanh a = v / c , la relación entre la velocidad v y la velocidad de la luz . El escribio:
- Merece la pena mencionar que a la rapidez unitaria corresponde una velocidad enorme, que asciende a 3/4 de la velocidad de la luz; más exactamente tenemos v = (.7616) c para a = 1 .
- [...] la rapidez a = 1 , [...] consecuentemente representará la velocidad .76 c que está un poco por encima de la velocidad de la luz en el agua.
Silberstein también usa el concepto de ángulo de paralelismo Π ( a ) de Lobachevsky para obtener cos Π ( a ) = v / c . [8]
Ángulo circular imaginario
El ángulo hiperbólico se presenta a menudo como si fuera un número imaginario . Por tanto, si x es un número real e i 2 = −1 , entonces
de modo que las funciones hiperbólicas cosh y sinh se pueden presentar a través de funciones circulares. Pero estas identidades no surgen de un círculo o rotación, sino que pueden entenderse en términos de series infinitas . En particular, el que expresa la función exponencial ( ) consta de términos pares e impares, los primeros comprenden la función cosh (), este último la función sinh (). La serie infinita del coseno se deriva de cosh convirtiéndola en una serie alterna , y la serie del seno procede de convertir sinh en una serie alterna. Las identidades anteriores usan el número i para eliminar el factor alterno (-1) n de los términos de la serie para restaurar las mitades completas de la serie exponencial. Sin embargo, en la teoría de las funciones holomórficas , las funciones hiperbólicas seno y coseno se incorporan a las funciones complejas seno y coseno.
Ver también
- Ángulo trascendente
Notas
- ^ Bjørn Felsager, A través del espejo: un vistazo a la geometría gemela de Euclides, la geometría de Minkowski. Archivado el16 de julio de 2011en la Wayback Machine , ICME-10 Copenhague 2004; p.14. Ver también hojas de ejemplo [1] Archivado 2009-01-06 en Wayback Machine [2] Archivado 2008-11-21 en Wayback Machine explorando los paralelos Minkowskianos de algunos resultados euclidianos estándar
- ^ Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página 1, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, Sociedad matemática estadounidense
- ^ Geometría hiperbólica págs. 5-6, figura 15.1
- ^ David Eugene Smith (1925) Historia de las matemáticas , págs. 424,5 v. 1
- ^ Augustus De Morgan (1849) Trigonometría y álgebra doble , Capítulo VI: "Sobre la conexión de la trigonometría común e hiperbólica"
- ^ Documentos de Alexander Macfarlane (1894) sobre análisis espacial , B. Westerman, Nueva York
- ^ Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Bulletin of the American Mathematical Society 1 (6): 155–9
- ^ Ludwik Silberstein (1914) Teoría de la relatividad , Cambridge University Press, págs. 180-1
Referencias
- Janet Heine Barnett (2004) "Enter, stage center: the early drama of the hyperbolic functions", disponible en (a) Mathematics Magazine 77 (1): 15-30 o (b) capítulo 7 de Euler en 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer editores, Asociación Matemática de América ISBN 0-88385-565-8 .
- Arthur Kennelly (1912) Aplicación de funciones hiperbólicas a problemas de ingeniería eléctrica
- William Mueller, Explorando el precálculo , § El número e, Trigonometría hiperbólica .
- John Stillwell (1998) Números y geometría, ejercicio 9.5.3, pág. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2 .