En geometría proyectiva , una correlación es una transformación de un espacio proyectivo d- dimensional que mapea subespacios de dimensión k a subespacios de dimensión d - k - 1 , invirtiendo la inclusión y preservando la incidencia . Las correlaciones también se denominan reciprocidades o transformaciones recíprocas .
En dos dimensiones
En el plano proyectivo real , los puntos y las líneas son duales entre sí. Según lo expresado por Coxeter,
- Una correlación es una transformación de punto a línea y de línea a punto que preserva la relación de incidencia de acuerdo con el principio de dualidad. De este modo, transforma las gamas en lápices , los lápices en gamas, los cuadriláteros en cuadriláteros, etc. [1]
Dada una línea m y P un punto no en m , una correlación elemental se obtiene como sigue: por cada Q en m formar la línea PQ . La correlación inversa comienza con el lápiz en P : para cualquier línea q en este lápiz, tome el punto m ∩ q . La composición de dos correlaciones que comparten el mismo lápiz es una perspectiva .
En tres dimensiones
En un espacio proyectivo tridimensional, una correlación asigna un punto a un plano . Como se indica en un libro de texto: [2]
- Si κ es tal correlación, cada punto P es transformado por él en un plano π ′ = κP y, a la inversa, cada punto P surge de un plano único π ′ por la transformación inversa κ −1 .
Las correlaciones tridimensionales también transforman las líneas en líneas, por lo que pueden considerarse colinaciones de los dos espacios.
En dimensiones superiores
En el espacio proyectivo n- dimensional general , una correlación lleva un punto a un hiperplano . Este contexto fue descrito por Paul Yale:
- Una correlación del espacio proyectivo P ( V ) es una permutación con inversión de inclusión de los subespacios propios de P ( V ). [3]
Él prueba un teorema que establece que una correlación φ intercambia uniones e intersecciones, y para cualquier subespacio proyectivo W de P ( V ), la dimensión de la imagen de W bajo φ es ( n - 1) - dim W , donde n es la dimensión del espacio vectorial V utilizado para producir el espacio proyectivo P ( V ).
Existencia de correlaciones
Las correlaciones solo pueden existir si el espacio es auto-dual. Para las dimensiones 3 y superiores, la autodualidad es fácil de probar: existe un campo sesgado coordinador y la autodualidad falla si y solo si el campo sesgado no es isomórfico a su opuesto.
Tipos especiales de correlaciones
Polaridad
Si una correlación φ es una involución (es decir, dos aplicaciones de la correlación es igual a la identidad: φ 2 ( P ) = P para todos los puntos P ) entonces se llama polaridad . Las polaridades de los espacios proyectivos conducen a espacios polares , que se definen tomando la colección de todos los subespacios que están contenidos en su imagen bajo la polaridad.
Correlación natural
Existe una correlación natural inducida entre un espacio proyectivo P ( V ) y su dual P ( V ∗ ) por el apareamiento natural ⟨⋅, ⋅⟩ entre los espacios vectoriales subyacentes V y su dual V ∗ , donde cada subespacio W de V ∗ se asigna a su complemento ortogonal W ⊥ en V , definido como W ⊥ = { v ∈ V | ⟨ W , v ⟩ = 0, ∀ w ∈ W }. [4]
La composición de esta correlación natural con un isomorfismo de espacios proyectivos inducido por un mapa semilineal produce una correlación de P ( V ) consigo mismo. De esta manera, todo mapa semilineal no degenerado V → V ∗ induce una correlación de un espacio proyectivo consigo mismo.
Referencias
- ^ HSM Coxeter (1974) Geometría proyectiva , segunda edición, página 57, University of Toronto Press ISBN 0-8020-2104-2
- ^ JG Semple y GT Kneebone (1952) Geometría proyectiva algebraica , p 360, Clarendon Press
- ^ Paul B. Yale (1968, 1988.2004) Geometría y simetría , capítulo 6.9 Correlaciones y formas semibilineales, Publicaciones de DoverISBN 0-486-43835-X
- ^ Irving Kaplansky (1974) [1969], Álgebra lineal y geometría (2ª ed.), Pág. 104
- Robert J. Bumcroft (1969), Geometría proyectiva moderna , Holt, Rinehart y Winston , Capítulo 4.5 Correlaciones p. 90
- Robert A. Rosenbaum (1963), Introducción a la geometría proyectiva y el álgebra moderna , Addison-Wesley , p. 198