En matemáticas, la desigualdad de Harnack es una desigualdad que relaciona los valores de una función armónica positiva en dos puntos, introducida por A. Harnack ( 1887 ). J. Serrin ( 1955 ) y J. Moser ( 1961 , 1964 ) generalizaron la desigualdad de Harnack a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas . La solución de Perelman de la conjetura de Poincaré utiliza una versión de la desigualdad de Harnack, encontrada por R. Hamilton ( 1993 ), para el flujo de Ricci. La desigualdad de Harnack se usa para probar el teorema de Harnacksobre la convergencia de secuencias de funciones armónicas. La desigualdad de Harnack también se puede utilizar para mostrar la regularidad interior de soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales.
La declaración
La desigualdad de Harnack se aplica a una función no negativa f definida en una bola cerrada en R n con radio R y centro x 0 . Establece que, si f es continua en la bola cerrada y armónica en su interior, entonces para cada punto x con | x - x 0 | = r < R ,
En el plano R 2 ( n = 2) la desigualdad se puede escribir:
Para dominios generales en la desigualdad se puede expresar de la siguiente manera: Si es un dominio acotado con , entonces hay una constante tal que
por cada función doble diferenciable, armónica y no negativa . El constante es independiente de ; depende solo de los dominios y .
Prueba de la desigualdad de Harnack en una bola
donde ω n - 1 es el área de la esfera unitaria en R n y r = | x - x 0 |.
Desde
el kernel en el integrando satisface
La desigualdad de Harnack sigue sustituyendo esta desigualdad en la integral anterior y usando el hecho de que el promedio de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera:
Ecuaciones diferenciales parciales elípticas
Para las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, la desigualdad de Harnack establece que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conectada está acotado por algunas constantes multiplicadas por el mínimo, posiblemente con un término agregado que contiene una norma funcional de los datos:
La constante depende de la elipticidad de la ecuación y la región abierta conectada.
Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas
Existe una versión de la desigualdad de Harnack para las PDE parabólicas lineales, como la ecuación de calor .
Dejar ser un dominio suave (acotado) en y considere el operador elíptico lineal
con coeficientes suaves y acotados y una matriz definida positiva. Suponer que es una solución de
- en
tal que
Dejar estar contenido de forma compacta en y elige . Entonces existe una constante C > 0 (dependiendo solo de K ,, , y los coeficientes de ) tal que, para cada ,
Ver también
Referencias
- Caffarelli, Luis A .; Cabré, Xavier (1995), Ecuaciones elípticas totalmente no lineales , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5
- Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2a ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 3-540-41160-7
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- Moser, Jürgen (1964), "Una desigualdad de Harnack para ecuaciones diferenciales parabólicas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101-134, doi : 10.1002 / cpa.3160170106 , MR 0159139
- Serrin, James (1955), "Sobre la desigualdad de Harnack para ecuaciones elípticas lineales", Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308, doi : 10.1007 / BF02787725 , MR 0081415
- LC Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Americana de Matemáticas, Estados Unidos. Para las PDE elípticas, consulte el Teorema 5, pág. 334 y para PDE parabólicas ver Teorema 10, p. 370.