En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos , el teorema de Hartman-Grobman o teorema de linealización es un teorema sobre el comportamiento local de sistemas dinámicos en la vecindad de un punto de equilibrio hiperbólico . Afirma que la linealización, una simplificación natural del sistema, es eficaz para predecir patrones cualitativos de comportamiento. El teorema debe su nombre a Philip Hartman y David M. Grobman .
El teorema establece que el comportamiento de un sistema dinámico en un dominio cerca de un punto de equilibrio hiperbólico es cualitativamente el mismo que el comportamiento de su linealización cerca de este punto de equilibrio, donde la hiperbolicidad significa que ningún valor propio de la linealización tiene una parte real igual a cero. Por lo tanto, cuando se trata de estos sistemas dinámicos, se puede utilizar la linealización más simple del sistema para analizar su comportamiento en torno a los equilibrios. [1]
Teorema principal
Considere un sistema que evoluciona en el tiempo con el estado que satisface la ecuación diferencial para un mapa suave . Suponga que el mapa tiene un estado de equilibrio hiperbólico: es decir, y la matriz jacobiana de en el estado no tiene valor propio con parte real igual a cero. Entonces existe un barrio del equilibrio y un homeomorfismo , tal que y tal que en el barrio el flujo deestá topológicamente conjugado por el mapa continuo al flujo de su linealización . [2] [3] [4] [5]
Incluso para mapas infinitamente diferenciables , el homeomorfismo No es necesario que sea suave, ni siquiera localmente Lipschitz. Sin embargo, resulta ser continuo de Hölder , con un exponente que depende de la constante de hiperbolicidad de. [6]
El teorema de Hartman-Grobman se ha extendido a espacios de Banach de dimensión infinita, sistemas no autónomos (potencialmente estocástico) y para atender las diferencias topológicas que ocurren cuando hay valores propios con una parte real cero o cercana a cero. [7] [8] [9] [10]
Ejemplo
El álgebra necesaria para este ejemplo se lleva a cabo fácilmente mediante un servicio web que calcula transformaciones de coordenadas de forma normal de sistemas de ecuaciones diferenciales, autónomos o no autónomos, deterministas o estocásticos . [11]
Considere el sistema 2D en variables evolucionando según el par de ecuaciones diferenciales acopladas
Por cálculo directo se puede ver que el único equilibrio de este sistema se encuentra en el origen, es decir . La transformación de coordenadas, dónde , dada por
es un mapa suave entre el original y nuevo coordenadas, al menos cerca del equilibrio en el origen. En las nuevas coordenadas el sistema dinámico se transforma en su linealización.
Es decir, una versión distorsionada de la linealización da la dinámica original en algún vecindario finito.
Ver también
Referencias
- ^ Arrowsmith, DK; Lugar, CM (1992). "El teorema de la linealización" . Sistemas dinámicos: ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico . Londres: Chapman & Hall. págs. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.
- ^ Grobman, DM (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorfismos de sistemas de ecuaciones diferenciales]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 128 : 880–881.
- ^ Hartman, Philip (agosto de 1960). "Un lema en la teoría de la estabilidad estructural de ecuaciones diferenciales" . Proc. AMS . 11 (4): 610–620. doi : 10.2307 / 2034720 . JSTOR 2034720 .
- ^ Hartman, Philip (1960). "Sobre homeomorfismos locales de espacios euclidianos". Bol. Soc. Matemáticas. Mexicana . 5 : 220–241.
- ^ Chicone, C. (2006). Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones . Textos en Matemática Aplicada. 34 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-30769-5.
- ^ Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "Sobre el teorema de Grobman-Hartman en la clase α-Hölder para espacios de Banach" (PDF) . Documento de trabajo .
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (1996). "Variedades integrales para ecuaciones diferenciales tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Aulbach, B .; Colonius, F. (eds.). Seis conferencias sobre sistemas dinámicos . Singapur: World Scientific. págs. 45-119. ISBN 978-981-02-2548-3.
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (1999). "Foliaciones invariantes para ecuaciones diferenciales de tipo carathéodory en espacios de Banach". En Lakshmikantham, V .; Martynyuk, AA (eds.). Avances en la teoría de la estabilidad a finales del siglo XX . Gordon y Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN 978-0-415-26962-9.
- ^ Aulbach, B .; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi : 10.1016 / S0362-546X (00) 85006-3 .
- ^ Roberts, AJ (2008). "La forma normal transforma los modos lento y rápido separados en sistemas dinámicos estocásticos". Un Physica . 387 (1): 12–38. arXiv : matemáticas / 0701623 . Código Bibliográfico : 2008PhyA..387 ... 12R . doi : 10.1016 / j.physa.2007.08.023 .
- ^ Roberts, AJ (2007). "Forma normal de ecuaciones diferenciales multiescala estocásticas o deterministas" . Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2013.
Otras lecturas
- Irwin, Michael C. (2001). "Linealización" . Sistemas dinámicos suaves . World Scientific. págs. 109-142. ISBN 981-02-4599-8.
- Perko, Lawrence (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera ed.). Nueva York: Springer. págs. 119-127. ISBN 0-387-95116-4.
- Robinson, Clark (1995). Sistemas dinámicos: estabilidad, dinámica simbólica y caos . Boca Ratón: CRC Press. págs. 156-165. ISBN 0-8493-8493-1.
enlaces externos
- Coayla-Teran, E .; Mohammed, S .; Ruffino, P. (febrero de 2007). "Teoremas de Hartman-Grobman a lo largo de trayectorias estacionarias hiperbólicas" (PDF) . Sistemas dinámicos discretos y continuos . 17 (2): 281-292. doi : 10.3934 / dcds.2007.17.281 . Archivado desde el original (PDF) el 24 de julio de 2007 . Consultado el 9 de marzo de 2007 .
- Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- "El teorema más adictivo en matemáticas aplicadas" . Scientific American .