En matemáticas , la linealización consiste en encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . [1] Este método se utiliza en campos como la ingeniería , la física ,economía y ecología .
Linealización de una función
Las linealizaciones de una función son líneas, generalmente líneas que se pueden usar para fines de cálculo. La linealización es un método eficaz para aproximar la salida de una función a cualquiera basado en el valor y la pendiente de la función en, dado que es diferenciable en (o ) y eso esta cerca de . En resumen, la linealización se aproxima a la salida de una función cercana.
Por ejemplo, . Sin embargo, ¿cuál sería una buena aproximación de?
Para cualquier función dada , puede aproximarse si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que, dónde es la linealización de a . La forma punto-pendiente de una ecuación forma una ecuación de una línea, dado un punto y pendiente . La forma general de esta ecuación es:.
Usando el punto , se convierte en . Debido a que las funciones diferenciables son localmente lineales , la mejor pendiente para sustituir sería la pendiente de la recta tangente a a .
Mientras que el concepto de linealidad local se aplica más a puntos arbitrariamente cercanos a, aquellos relativamente cercanos funcionan relativamente bien para aproximaciones lineales. La pendiente debe ser, con mayor precisión, la pendiente de la recta tangente en .
Visualmente, el diagrama adjunto muestra la línea tangente de a . A, dónde es cualquier pequeño valor positivo o negativo, es muy cercano al valor de la recta tangente en el punto .
La ecuación final para la linealización de una función en es:
Para , . La derivada de es , y la pendiente de a es .
Ejemplo
Encontrar , podemos utilizar el hecho de que . La linealización de a es , porque la función define la pendiente de la función a . Sustituyendo en, la linealización en 4 es . En este caso, entonces es aproximadamente . El valor real está cerca de 2.00024998, por lo que la aproximación de linealización tiene un error relativo de menos de una millonésima parte de un porcentaje.
Linealización de una función multivariable
La ecuación para la linealización de una función en un punto es:
La ecuación general para la linealización de una función multivariable en un punto es:
dónde es el vector de variables, y es el punto de interés de la linealización. [2]
Usos de la linealización
La linealización permite utilizar herramientas de estudio de sistemas lineales para analizar el comportamiento de una función no lineal cerca de un punto dado. La linealización de una función es el término de primer orden de su expansión de Taylor alrededor del punto de interés. Para un sistema definido por la ecuación
- ,
el sistema linealizado se puede escribir como
dónde es el punto de interés y es el jacobiano de evaluado en .
Análisis de estabilidad
En el análisis de estabilidad de sistemas autónomos , se pueden utilizar los valores propios de la matriz jacobiana evaluados en un punto de equilibrio hiperbólico para determinar la naturaleza de ese equilibrio. Este es el contenido del teorema de linealización . Para sistemas que varían en el tiempo, la linealización requiere una justificación adicional. [3]
Microeconomía
En microeconomía , las reglas de decisión pueden aproximarse bajo el enfoque de espacio de estados para la linealización. [4] Bajo este enfoque, las ecuaciones de Euler del problema de maximización de la utilidad se linealizan alrededor del estado estacionario estacionario. [4] Entonces se encuentra una solución única para el sistema resultante de ecuaciones dinámicas. [4]
Mejoramiento
En la optimización matemática , las funciones de costo y los componentes no lineales internos se pueden linealizar para aplicar un método de resolución lineal como el algoritmo Simplex . El resultado optimizado se alcanza de manera mucho más eficiente y es determinista como un óptimo global .
Multifísica
En los sistemas multifísicos (sistemas que involucran múltiples campos físicos que interactúan entre sí) se puede realizar la linealización con respecto a cada uno de los campos físicos. Esta linealización del sistema con respecto a cada uno de los campos da como resultado un sistema de ecuaciones monolíticas linealizadas que se puede resolver utilizando procedimientos de solución iterativos monolíticos como el método de Newton-Raphson . Ejemplos de esto incluyen los sistemas de escáner de resonancia magnética que dan como resultado un sistema de campos electromagnéticos, mecánicos y acústicos. [5]
Ver también
- Estabilidad lineal
- Matriz de rigidez tangente
- Derivados de estabilidad
- Teorema de linealización
- Aproximación de Taylor
- Ecuación funcional (función L)
Referencias
- ^ El problema de linealización en sistemas dinámicos complejos de dimensión uno en Scholarpedia
- ^ Linealización. La Universidad Johns Hopkins. Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática Archivado el 7 de junio de 2010 en la Wayback Machine.
- ^ Leonov, GA; Kuznetsov, NV (2007). "Linealización variable en el tiempo y los efectos de Perron". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 17 (4): 1079-1107. Código bibliográfico : 2007IJBC ... 17.1079L . doi : 10.1142 / S0218127407017732 .
- ^ a b c Moffatt, Mike. (2008) About.com Glosario de economía del enfoque espacial de estados ; Términos que comienzan con S. Consultado el 19 de junio de 2008.
- ^ Bagwell, S .; Libro mayor, PD; Gil, AJ; Mallett, M .; Kruip, M. (2017). "Un marco de elementos finitos hp linealizado para acoplamiento acústico-magneto-mecánico en escáneres de resonancia magnética simétrica" . Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 112 (10): 1323-1352. Código bibliográfico : 2017IJNME.112.1323B . doi : 10.1002 / nme.5559 .
enlaces externos
Tutoriales de linealización
- Linealización para el análisis de modelos y el diseño de controles