En matemáticas, una derivación de Hasse-Schmidt es una extensión de la noción de derivación . El concepto fue introducido por Schmidt & Hasse (1937) .
Definición
Para un anillo B (no necesariamente conmutativo ni asociativo) y un B - álgebra A , una derivación de Hasse-Schmidt es un mapa de B -álgebras
tomando valores en el anillo de series formales con coeficientes en A . Esta definición se encuentra en varios lugares, como Gatto & Salehyan (2016 , §3.4), que también contiene el siguiente ejemplo: para que A sea el anillo de funciones infinitamente diferenciables (definidas en, digamos, R n ) y B = R , el mapa
es una derivación de Hasse-Schmidt, como se deduce de la aplicación iterativa de la regla de Leibniz .
Caracterizaciones equivalentes
Hazewinkel (2012) muestra que una derivación de Hasse-Schmidt es equivalente a una acción de la bialgebra
de funciones simétricas no conmutativas en innumerables variables Z 1 , Z 2 , ...: la partede D que elige el coeficiente de, es la acción del indeterminado Z i .
Aplicaciones
Derivaciones de Hasse-Schmidt en el álgebra exterior de algunos módulos B M han sido estudiados por Gatto & Salehyan (2016 , §4). Las propiedades básicas de las derivaciones en este contexto conducen a una demostración conceptual del teorema de Cayley-Hamilton . Véase también Gatto y Scherbak (2015) .
Referencias
- Gatto, Letterio; Salehyan, Parham (2016), derivaciones de Hasse-Schmidt en álgebras de Grassmann , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-31842-4 , ISBN 978-3-319-31842-4, MR 3524604
- Gatto, Letterio; Scherbak, Inna (2015), Observaciones sobre el teorema de Cayley-Hamilton , arXiv : 1510.03022
- Hazewinkel, Michiel (2012), "Derivaciones de Hasse-Schmidt y el álgebra de Hopf de funciones simétricas no conmutativas", Axiomas , 1 (2): 149-154, arXiv : 1110.6108 , doi : 10.3390 / axioms1020149 , S2CID 15969581
- Schmidt, FK; Hasse, H. (1937), "Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten. (Nach einer brieflichen Mitteilung von FK Schmidt en Jena)", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1937 (177): 215–237, doi : 10.1515 / crll.1937.177.215 , ISSN 0075-4102 , MR 1581557 , S2CID 120317012