En matemáticas , el invariante de Hasse (o invariante de Hasse-Witt ) de una forma cuadrática Q sobre un campo K toma valores en el grupo de Brauer Br ( K ). El nombre "Hasse – Witt" proviene de Helmut Hasse y Ernst Witt .
La forma cuadrática Q puede tomarse como una forma diagonal
- Σ una yo x yo 2 .
Su invariante se define entonces como el producto de las clases en el grupo de Brauer de todas las álgebras de cuaterniones.
- ( a i , a j ) para i < j .
Esto es independiente de la forma diagonal elegida para calcularlo. [1]
También puede verse como la segunda clase de Q de Stiefel-Whitney .
Simbolos
El invariante puede calcularse para un símbolo específico φ tomando valores ± 1 en el grupo C 2 . [2]
En el contexto de formas cuadráticas sobre un campo local , el invariante de Hasse puede definirse usando el símbolo de Hilbert , el símbolo único que toma valores en C 2 . [3] Los invariantes de una forma cuadrática sobre un campo local son precisamente la dimensión, el discriminante y el invariante de Hasse. [4]
Para las formas cuadráticas sobre un campo numérico , hay una invariante de Hasse ± 1 para cada lugar finito . Los invariantes de un formulario sobre un campo numérico son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes Hasse locales y las firmas que provienen de incrustaciones reales. [5]
Referencias
- Conner, PE; Perlis, R. (1984). Un estudio de las formas de seguimiento de los campos numéricos algebraicos . Serie en Matemática Pura. 2 . World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .
- O'Meara, OT (1973). Introducción a las formas cuadráticas . Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 117 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018 .
- Serre, Jean-Pierre (1973). Un curso de aritmética . Textos de Posgrado en Matemáticas . 7 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001 .