En matemáticas, la fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth , descubierta por Emilie Virginia Haynsworth (1916-1985), se refiere al número de valores propios positivos, negativos y cero de una matriz hermitiana y de matrices de bloques en las que se divide . [1]
La inercia de una matriz hermitiana H se define como el triple ordenado
cuyos componentes son, respectivamente, los números de positivo, negativo, y cero valores propios de H . Haynsworth consideró una matriz hermitiana dividida
donde H 11 es no singular y H 12 * es la transpuesta conjugada de H 12 . La fórmula dice: [2] [3]
donde H / H 11 es el complemento de Schur de H 11 en H :
Generalización
Si H 11 es singular , aún podemos definir el complemento de Schur generalizado, utilizando el inverso de Moore-Penrose H 11 + en lugar de H 11 -1 .
La fórmula no se cumple si H 11 es singular. Sin embargo, Carlson, Haynsworth y Markham demostraron una generalización en 1974, [4] en el sentido de que y .
Carlson, Haynsworth y Markham también dieron las condiciones suficientes y necesarias para que se mantuviera la igualdad.
Ver también
notas y referencias
- ^ Haynsworth, EV, "Determinación de la inercia de una matriz hermitiana dividida", Álgebra lineal y sus aplicaciones , volumen 1 (1968), páginas 73–81
- ^ Zhang, Fuzhen (2005). El complemento Schur y sus aplicaciones . Saltador. pag. 15 . ISBN 0-387-24271-6.
- ^ El complemento Schur y sus aplicaciones , p. 15, en Google Libros
- ^ Carlson, D .; Haynsworth, EV; Markham, T. (1974). "Una generalización del complemento de Schur mediante la inversa de Moore-Penrose". SIAM J. Appl. Matemáticas . 16 (1): 169-175. doi : 10.1137 / 0126013 .