En matemáticas, la función zeta de altura de una variedad algebraica o más generalmente un subconjunto de una variedad codifica la distribución de puntos de altura dada .
Definición
Si S es un conjunto con función de altura H , tal que solo hay un número finito de elementos de altura limitada, defina una función de conteo
y una función zeta
Propiedades
Si Z tiene una abscisa de convergencia β y hay una constante c tal que N tiene una tasa de crecimiento
entonces se cumple una versión del teorema de Wiener-Ikehara : Z tiene un polo t -pold en s = β con el residuo c . a .Γ ( t ).
La abscisa de convergencia tiene propiedades formales similares al invariante de Nevanlinna y se conjetura que son esencialmente lo mismo. Más precisamente, Batyrev-Manin conjeturó lo siguiente. [1] Let X ser una variedad proyectiva sobre un número K , con un amplio divisor D dando lugar a una incrustación y la altura función H , y sea T denotan un subconjunto Zariski-abierta de X . Sea α = α ( D ) el invariante de Nevanlinna de D y β la abscisa de convergencia de Z ( U , H ; s ). Entonces, para cada ε > 0 hay una U tal que β < α + ε : en la dirección opuesta, si α > 0 entonces α = β para todos los campos K suficientemente grandes y U suficientemente pequeños .
Referencias
- ^ Batyrev, VV; Manin, Yu.I. (1990). "Sobre el número de puntos racionales de altura acotada en variedades algebraicas". Matemáticas. Ann . 286 : 27–43. doi : 10.1007 / bf01453564 . Zbl 0679.14008 .
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometría diofántica: una introducción . Textos de Posgrado en Matemáticas . 201 . ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .