En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el teorema de Hellinger-Toeplitz establece que un operador simétrico definido en todas partes en un espacio de Hilbert con producto internoestá acotado . Por definición, un operador A es simétrico si
para todas las x , y en el dominio de A . Tenga en cuenta que los operadores simétricos definidos en todas partes son necesariamente autoadjuntos , por lo que este teorema también se puede establecer de la siguiente manera: un operador autoadjunto definido en todas partes está acotado. El teorema lleva el nombre de Ernst David Hellinger y Otto Toeplitz .
Este teorema puede verse como un corolario inmediato del teorema del grafo cerrado , ya que los operadores autoadjuntos son cerrados . Alternativamente, se puede argumentar utilizando el principio de delimitación uniforme . Uno se basa en el supuesto simétrico, por lo tanto, la estructura interna del producto, para demostrar el teorema. También es crucial el hecho de que el operador A dado se define en todas partes (y, a su vez, la completitud de los espacios de Hilbert).
El teorema de Hellinger-Toeplitz revela ciertas dificultades técnicas en la formulación matemática de la mecánica cuántica . Los observables en mecánica cuántica corresponden a operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert, pero algunos observables (como la energía) son ilimitados. Según Hellinger-Toeplitz, dichos operadores no pueden definirse en todas partes (pero pueden definirse en un subconjunto denso ). Tomemos, por ejemplo, el oscilador armónico cuántico . Aquí el espacio de Hilbert es L 2 ( R ), el espacio de funciones cuadradas integrables en R , y el operador de energía H está definido por (asumiendo que las unidades se eligen de manera que ℏ = m = ω = 1)
Este operador es autoadjunto e ilimitado (sus valores propios son 1/2, 3/2, 5/2, ...), por lo que no se puede definir en la totalidad de L 2 ( R ).
Referencias
- Reed, Michael y Simon, Barry: Métodos de física matemática, Volumen 1: Análisis funcional. Academic Press, 1980. Véase la Sección III.5.
- Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5.