En matemáticas , el teorema del gráfico cerrado es un resultado básico que caracteriza a las funciones continuas en términos de sus gráficos . En particular, dan condiciones cuando las funciones con gráficos cerrados son necesariamente continuas. En matemáticas, hay varios resultados conocidos como el "teorema del gráfico cerrado".
Gráficos y mapas con gráficos cerrados
Si f : X → Y es un mapa entre espacios topológicos, entonces la gráfica de f es el conjunto Gr f : = {( x , f ( x )): x ∈ X } o equivalentemente,
- Gr f : = {( x , y ) ∈ X × Y : y = f ( x )}
Decimos que la gráfica de f es cerrada si Gr f es un subconjunto cerrado de X × Y (con la topología del producto ).
Cualquier función continua en un espacio de Hausdorff tiene un gráfico cerrado.
Cualquier mapa lineal, L : X → Y , entre dos espacios vectoriales topológicos cuyas topologías son (Cauchy) completas con respecto a las métricas invariantes de traducción, y si además (1a) L es secuencialmente continuo en el sentido de la topología del producto, entonces el El mapa L es continuo y su gráfico, Gr L , es necesariamente cerrado. Por el contrario, si L es un mapa lineal con, en lugar de (1a), se sabe que la gráfica de L (1b) está cerrada en el espacio del producto cartesiano X × Y , entonces L es continua y, por lo tanto, necesariamente secuencialmente continua. [1]
Ejemplos de mapas continuos que no están cerrados
- Si X es cualquier espacio, entonces el mapa de identidad Id: X → X es continuo pero su gráfico, que es la diagonal Gr Id: = {( x , x ): x ∈ X } , se cierra en X × X si y solo si X es Hausdorff. [2] En particular, si X no es Hausdorff, entonces Id: X → X es continuo pero no cerrado.
- Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual y Y denote ℝ con la topología indiscreta (donde tenga en cuenta que Y no es Hausdorff y que todas las funciones valoradas en Y son continuas). Sea f : X → Y definida por f (0) = 1 y f ( x ) = 0 para todo x ≠ 0 . Entonces f : X → Y es continua pero su gráfica es no cerrado en X × Y . [3]
Teorema de gráfico cerrado en topología de conjuntos de puntos
En la topología de conjuntos de puntos , el teorema del gráfico cerrado establece lo siguiente:
Teorema del gráfico cerrado [4] - Si f : X → Y es un mapa de un espacio topológico X en un espacio compacto de Hausdorff Y , entonces el gráfico de f es cerrado si y solo si f : X → Y es continuo .
Para funciones con valores establecidos
Teorema de gráfico cerrado para funciones con valores establecidos [5] - Para un espacio de rango compacto de Hausdorff Y , una función con valores establecidos F : X → 2 Y tiene un gráfico cerrado si y solo si es hemicontinuo superior y F ( x ) es un conjunto cerrado para todos x ∈ X .
En análisis funcional
- Definición : Si T : X → Y es un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces decimos que T es un operador cerrado si el gráfico de T está cerrado en X × Y cuando X × Y está dotado de la topología del producto.
El teorema del gráfico cerrado es un resultado importante en el análisis funcional que garantiza que un operador lineal cerrado es continuo bajo ciertas condiciones. El resultado original se ha generalizado muchas veces. Una versión bien conocida de los teoremas de los gráficos cerrados es la siguiente.
Teorema [6] [7] - Un mapa lineal entre dos espacios F (por ejemplo, espacios de Banach ) es continuo si y solo si su gráfico es cerrado.
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio en barril : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Operador lineal cerrado
- Mapa lineal continuo
- Mapa lineal discontinuo
- Teorema de punto fijo de Kakutani : activado cuando una función f: S → Pow (S) en un subconjunto convexo compacto no vacío S⊂ℝⁿ tiene un punto fijo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
- ^ Rudin 1991 , p. 51-52.
- ^ Rudin 1991 , p. 50.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 459-483.
- ^ Munkres 2000 , págs. 163-172.
- ^ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capítulo 17". Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3ª ed.). Saltador.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 78.
- ^ Trèves (1995) , pag. 173
Notas
Bibliografía
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Folland, Gerald B. (1984), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (1a ed.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
- Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
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- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
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- "Prueba del teorema de gráfico cerrado" . PlanetMath .