Espacio hemicompacto

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En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es hemicompacto si tiene una secuencia de subconjuntos compactos de modo que cada subconjunto compacto del espacio se encuentra dentro de algún conjunto compacto en la secuencia. ^[1] Claramente, esto obliga a que la unión de la secuencia sea el espacio completo, porque cada punto es compacto y por lo tanto debe estar en uno de los conjuntos compactos.

Cada espacio hemicompacto es σ-compacto y si además es contable primero , es localmente compacto .

Si es un espacio hemicompacto, entonces el espacio de todas las funciones continuas a un espacio métrico con la topología compacta-abierta es metrizable . ^[2] Para ver esto, tome una secuencia de subconjuntos compactos de tal que cada subconjunto compacto de se encuentre dentro de algún conjunto compacto en esta secuencia (la existencia de tal secuencia se sigue de la hemicompactancia de ). Definir pseudometría${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C (X, M)}$${\ Displaystyle f: X \ a M}$ ${\ Displaystyle (M, \ delta)}$${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ dots}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

define una métrica en la que induce la topología compacta-abierta.${\ Displaystyle C (X, M)}$

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