Un tetraedro Heronian [1] (también llamado tetraedro Heron [2] o pirámide perfecta [3] ) es un tetraedro cuyas longitudes de borde, áreas de caras y volumen son todos números enteros . Por tanto, todas las caras deben ser triángulos heronianos . Cada tetraedro heroniano se puede organizar en el espacio euclidiano de modo que las coordenadas de sus vértices también sean números enteros. [1]
Ejemplos de
Un ejemplo conocido por Leonhard Euler es un tetraedro birrectangular heroniano , un tetraedro con una trayectoria de tres aristas paralelas a los tres ejes coordenados y con todas las caras como triángulos rectángulos . Las longitudes de las aristas en la trayectoria de las aristas paralelas a los ejes son 153, 104 y 672, y las otras tres longitudes de aristas son 185, 680 y 697, formando cuatro caras triangulares rectángulos descritas por las triples pitagóricas (153,104,185), ( 104.672.680), (153.680.697) y (185.672.697). [4]
En 1877, Reinhold Hoppe descubrió ocho ejemplos de tetraedros heronianos . [5]
117 es la longitud más pequeña posible del borde más largo de un tetraedro perfecto con longitudes de borde integrales. Sus otras longitudes de borde son 51, 52, 53, 80 y 84. [3] 8064 es el volumen más pequeño posible (y 6384 es el área de superficie más pequeña posible) de un tetraedro perfecto. Las longitudes integrales de los bordes de un tetraedro heroniano con este volumen y área de superficie son 25, 39, 56, 120, 153 y 160. [6]
En 1943, EP Starke publicó otro ejemplo, en el que dos caras son triángulos isósceles con base 896 y lados 1073, y las otras dos caras también son isósceles con base 990 y los mismos lados. [7] Sin embargo, Starke cometió un error al informar sobre su volumen, que se ha copiado ampliamente. [2] El volumen correcto es124 185 600 , el doble del número informado por Starke. [8]
Sascha Kurz ha utilizado algoritmos de búsqueda por computadora para encontrar todos los tetraedros heronianos con la longitud de borde más larga como máximo 600 000 . [9]
Clasificación, familias infinitas y tipos especiales de tetraedro
Un tetraedro regular (uno con todas las caras equiláteras) no puede ser un tetraedro heroniano porque, para los tetraedros regulares cuyas longitudes de los bordes son números enteros, las áreas de las caras y el volumen son números irracionales . [10] Por la misma razón, ningún tetraedro heroniano puede tener un triángulo equilátero como una de sus caras. [3]
Hay infinitos tetraedros heronianos y, más fuertemente, infinitos difenoides heronianos , tetraedros en los que todas las caras son congruentes y cada par de lados opuestos tiene la misma longitud. En este caso, solo se necesitan tres longitudes de borde para describir el tetraedro, en lugar de seis, y los triples de longitudes que definen los tetraedros heronianos se pueden caracterizar mediante una curva elíptica . [3] [11] También hay infinitos tetraedros heronianos con un ciclo de cuatro longitudes de arista iguales, en las que todas las caras son triángulos isósceles . [2]
También hay infinitos tetraedros birrectangulares heronianos. Un método para generar tetraedros de este tipo deriva las longitudes de los bordes paralelos al eje, , y de dos sumas iguales de cuartos poderes
usando las fórmulas
Por ejemplo, el tetraedro derivado de esta manera de una identidad de Leonhard Euler ,, posee , , y igual a 386 678 175 ,332 273 368 , y379 083 360 , con la hipotenusa del triángulo rectángulo igual a 509 828 993 , la hipotenusa del triángulo rectángulo igual a 504 093 032 , y la hipotenusa de los dos lados restantes igual a635 318 657 . [8] Para estos tetraedros,, , y forman las longitudes de los bordes de un cuboide casi perfecto , un cuboide rectangular en el que los lados, dos de las tres diagonales de la cara y la diagonal del cuerpo son todos números enteros. [4]
Se desconoce una clasificación completa de todos los tetraedros de Heronian. [1] [2]
Formas relacionadas
Una definición alternativa de los triángulos heronianos es que se pueden formar pegando dos triángulos rectángulos enteros a lo largo de un lado común. Esta definición también se ha generalizado a tres dimensiones, lo que lleva a una clase diferente de tetraedros que también se han denominado tetraedros Heron. [12]
Referencias
- ↑ a b c Marshall, Susan H .; Perlis, Alexander R. (2013), "Los tetraedros heronianos son tetraedros reticulados" (PDF) , American Mathematical Monthly , 120 (2): 140-149, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.120.02.140 , MR 3029939 , S2CID 15888158
- ^ a b c d Chisholm, C .; MacDougall, JA (2006), "Rational and Heron tetrahedra", Journal of Number Theory , 121 (1): 153–185, doi : 10.1016 / j.jnt.2006.02.009 , MR 2268761
- ^ a b c d Buchholz, Ralph Heiner (1992), "Perfect pyramids" (PDF) , Bulletin of the Australian Mathematical Society , 45 (3): 353–368, doi : 10.1017 / S0004972700030252 , MR 1165142 , archivado desde el original (PDF) en octubre 27 de 2009
- ^ a b Gardner, Martin (1983), "Capítulo 2: Análisis diofantino y último teorema de Fermat", Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas , WH Freeman, págs. 10-19, Bibcode : 1983wlom.book ..... G; ver en particular la página 14
- ^ Hoppe, R. (1877), "Über rationale Dreikante und Tetraeder", Archiv der Mathematik und Physik , 61 : 86–98, citado por Chisholm y MacDougall (2006)
- ^ Peterson, Ivars (julio de 2003), "Math Trek: Perfect Pyramids" , Science News , archivado desde el original el 20 de febrero de 2008
- ^ Starke, EP (junio-julio de 1943), "E 544: A conmensurable tetrahedron", Problemas y soluciones, The American Mathematical Monthly , 50 (6): 390, doi : 10.2307 / 2303724 , JSTOR 2303724
- ^ a b "Problema 930" (PDF) , Solutions, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162-166, mayo de 1985
- ^ Kurz, Sascha (2008), "Sobre la generación de triángulos heronianos", Serdica Journal of Computing , 2 (2): 181-196, arXiv : 1401.6150 , MR 2473583
- ^ Coxeter, HSM (1973), Regular Polytopes (3.a ed.), Dover, Tabla I (i), págs. 292-293
- ^ Güntsche, R. (1907), "Rationale Tetraeder mit kongruenten Seiten" , Sitzungsberichte der Berliner Mathematische Gesellschaft , 6 : 38–53, citado por Chisholm y MacDougall (2006)
- ^ Lin, C.-S. (Noviembre de 2011), "95.66 The reciprocal volume of a Heron tetrahedron", The Mathematical Gazette , 95 (534): 542–545, doi : 10.1017 / S0025557200003740 , JSTOR 23248533 (sobre un concepto diferente con el mismo nombre)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Tetraedro heroniano" . MathWorld .