En matemáticas , un ladrillo de Euler , llamado así por Leonhard Euler , es un cuboide rectangular cuyos bordes y diagonales de cara tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es un ladrillo de Euler cuyas longitudes de borde son relativamente primarias . Un ladrillo de Euler perfecto es aquel en el que la diagonal espacial más larga también es un número entero, pero aún no se ha encontrado dicho ladrillo.
Definición
La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución al siguiente sistema de ecuaciones diofánticas :
donde a , b , c son los bordes y d , e , f son las diagonales.
Propiedades
- Si ( a , b , c ) es una solución, entonces ( ka , kb , kc ) también es una solución para cualquier k . En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas recalculaciones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de borde ( a , b , c ) , el triple ( bc , ac , ab ) constituye también un ladrillo de Euler. [1] : pág. 106
- Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 3. [1] : p. 106
- Al menos dos aristas de un ladrillo de Euler son divisibles por 4. [1] : p. 106
- Al menos un borde de un ladrillo de Euler es divisible por 11. [1] : p. 106
Ejemplos de
El ladrillo Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene bordes ( a , b , c ) = (44, 117, 240) y diagonales de cara ( d , e , f ) = (125, 244, 267) . [2] Algunas otras soluciones primitivas pequeñas, dadas como aristas ( a , b , c ) - diagonales de caras ( d , e , f ) , se encuentran a continuación:
( 85, 132, 720 ) - ( 157, 725, 732 ) ( 140, 480, 693 ) - ( 500, 707, 843 ) ( 160, 231, 792 ) - ( 281, 808, 825 ) ( 187, 1020, 1584 ) - ( 1037, 1595, 1884 ) ( 195, 748, 6336 ) - ( 773, 6339, 6380 ) ( 240, 252, 275 ) - ( 348, 365, 373 ) ( 429, 880, 2340 ) - ( 979, 2379, 2500 ) ( 495, 4888, 8160 ) - ( 4913, 8175, 9512 ) ( 528, 5796, 6325 ) - ( 5820, 6347, 8579 )
Fórmula generadora
Euler encontró al menos dos soluciones paramétricas al problema, pero ninguna ofrece todas las soluciones. [3]
Se puede generar una infinidad de ladrillos de Euler con la fórmula paramétrica de Sounderson [4] . Sea ( u , v , w ) un triple pitagórico (es decir, u 2 + v 2 = w 2 ). Entonces [1] : 105 las aristas
dar diagonales faciales
Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como arriba, por ejemplo el ladrillo de Euler con bordes ( a , b , c ) = (240, 252, 275) y diagonales de cara ( d , e , f ) = (348, 365, 373) .
Cuboide perfecto
¿Existe un cuboide perfecto?
Un cuboide perfecto (también llamado ladrillo de Euler perfecto , una caja perfecta ) es un ladrillo de Euler cuya diagonal espacial también tiene una longitud entera. En otras palabras, la siguiente ecuación se agrega al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:
donde g es la diagonal del espacio. A septiembre de 2020[actualizar], no se ha encontrado ningún ejemplo de un cuboide perfecto y nadie ha demostrado que no exista ninguno. [5]
Las búsquedas exhaustivas por computadora muestran que, si existe un cuboide perfecto,
- el borde impar debe ser superior a 2,5 × 10 13 , [5]
- el borde más pequeño debe ser mayor que 5 × 10 11 . [5]
Se conocen algunos hechos sobre propiedades que deben ser satisfechas por un cuboide perfecto primitivo , si existe, basado en aritmética modular : [6]
- Un borde, dos diagonales de cara y la diagonal del cuerpo deben ser impares, un borde y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y el borde restante debe ser divisible por 16.
- Dos bordes deben tener una longitud divisible por 3 y al menos uno de esos bordes debe tener una longitud divisible por 9.
- Un borde debe tener una longitud divisible por 5.
- Un borde debe tener una longitud divisible por 7.
- Un borde debe tener una longitud divisible por 11.
- Un borde debe tener una longitud divisible por 19.
- Un borde o diagonal de espacio debe ser divisible por 13.
- Un borde, la diagonal de la cara o la diagonal del espacio deben ser divisibles por 17.
- Un borde, la diagonal de la cara o la diagonal del espacio deben ser divisibles por 29.
- Un borde, la diagonal de la cara o la diagonal del espacio deben ser divisibles por 37.
Además:
- La diagonal espacial no es un poder primo ni un producto de dos primos . [7] : pág. 579
- La diagonal del espacio solo puede contener divisores primos ≡ 1 (mod 4). [7] : pág. 566 [8]
Conjeturas cuboides
Tres conjeturas cuboides son tres proposiciones matemáticas que afirman la irreductibilidad de tres polinomios univariados con coeficientes enteros que dependen de varios parámetros enteros. Las conjeturas están relacionadas con el problema del cuboide perfecto . [9] [10] Aunque no son equivalentes al problema del cuboide perfecto, si todas estas tres conjeturas son válidas, entonces no existen cuboides perfectos. No se prueban ni se refutan.
Conjetura cuboide 1. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera el polinomio de octavo grado
( 1 )
es irreductible sobre el anillo de enteros.
Conjetura cuboide 2. Para dos números enteros coprimos positivos cualesquiera el polinomio de décimo grado
( 2 )
es irreductible sobre el anillo de enteros .
Conjetura cuboide 3. Para cualesquiera tres números enteros coprimos positivos cualesquiera, , tal que ninguna de las condiciones
( 3 )
se cumplen, el polinomio de duodécimo grado
( 4 )
es irreductible sobre el anillo de enteros .
Cuboides casi perfectos
Un cuboide casi perfecto tiene 6 de las 7 longitudes como racionales. Estos cuboides se pueden clasificar en tres tipos, llamados cuboides de cuerpo , borde y cara . [11]
En el caso del cuerpo cuboide, la diagonal del cuerpo (espacio) g es irracional. Para el cuboide Edge, uno de los bordes a , b , c es irracional. El cuboide cara tiene sólo una de la cara diagonales d , e , f irracional.
El cuboide del cuerpo se conoce comúnmente como el cuboide de Euler en honor a Leonard Euler, quien habló sobre este tipo de cuboide. [12] También conocía los cuboides faciales y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672). [13] Las tres longitudes de los bordes cuboides enteros y las tres longitudes diagonales enteras de un cuboide facial también se pueden interpretar como las longitudes de los bordes de un tetraedro heroniano que también es un ortosquema de Schläfli . Hay infinitos cuboides faciales e infinitos ortosquemas heronianos. [14]
Solo recientemente se han conocido cuboides en números complejos.
A septiembre de 2017[actualizar], Randall L.Rathbun publicó [15] 155,151 encontró cuboides con el borde entero más pequeño menor que 157,000,000,000: 56,575 eran cuboides de Euler (cuerpo), 15,449 eran cuboides de borde con una longitud de borde de número complejo, 30,081 eran cuboides de borde y 53,046 eran cuboides de cara .
Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboides casi perfectos, expresadas como aristas, diagonales de caras y diagonales espaciales ( a , b , c , d , e , f , g ) :
- Cuerpo cuboide : (44, 117, 240, 125, 244, 267, √ 73225 )
- Borde paralelepípedo : (520, 576, √ 618849 , 776, 943, 975, 1105)
- Cara cuboide : (104, 153, 672, 185, 680, √ 474993 , 697)
- Cuerpo cuboide complejo : (63i, 60i, 65, 87i, 16, 25, √ -3344 )
- Cuboide de borde complejo : ( √ -3344 , 60, 63, 16, 25, 87, 65)
- Cuboide de cara compleja : (672i, 153i, 697, √ -474993 , 185, 680, 104)
Perfecto paralelepípedo
Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas de longitud entera, diagonales de cara y diagonales de cuerpo, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un paralelepípedo perfecto es un caso especial de paralelepípedo perfecto. En 2009, se demostró la existencia de docenas de paralelepípedos perfectos, [16] respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares. El paralelepípedo perfecto más pequeño tiene las aristas 271, 106 y 103; diagonales de cara corta 101, 266 y 255; diagonales de cara larga 183, 312 y 323; y diagonales del cuerpo 374, 300, 278 y 272.
Ver también
- Cuádruple pitagórico
Notas
- ↑ a b c d e Wacław Sierpiński , Triángulos de Pitágoras , Publicaciones de Dover, 2003 (ed. orig. 1962).
- ^ Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos de Ian Stewart, capítulo 17
- ^ Weisstein, Eric W. "Ladrillo de Euler" . MathWorld .
- ^ Knill, Oliver (24 de febrero de 2009). "Ladrillos perfectos de la caza del tesoro de Euler" (PDF) . Tabla de matemáticas. Universidad de Harvard .
- ^ a b c Matson, Robert D. "Resultados de una búsqueda informática para un cuboide perfecto" (PDF) . unsolvedproblems.org . Consultado el 24 de febrero de 2020 .
- ^ M. Kraitchik, Sobre ciertos cuboides racionales, Scripta Mathematica, volumen 11 (1945).
- ^ a b I. Korec, Límites inferiores para cuboides racionales perfectos, Matemáticas. Slovaca, 42 (1992), núm. 5, pág. 565-582.
- ↑ Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, junio de 2000
- ^ Sharipov RA (2012). "Cuboides perfectos y polinomios irreducibles". Diario de matemáticas de Ufa . 4 (1): 153–160. arXiv : 1108.5348 . Código Bib : 2011arXiv1108.5348S .
- ^ Sharipov RA (2015). "Aproximación asintótica al problema del cuboide perfecto". Diario de matemáticas de Ufa . 7 (3): 100-113.
- ^ Rathbun RL, Granlund Т., La tabla cuboide de enteros con soluciones de tipo cuerpo, borde y cara // Matemáticas. Comp., 1994, vol. 62, págs. 441-442.
- ^ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, San Petersburgo, 1771
- ^ Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, traducción al inglés: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
- ^ "Problema 930" (PDF) , Solutions, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162-166, mayo de 1985
- ^ Rathbun, Randall L. (16 de noviembre de 2018). "La tabla cuboide de enteros". arXiv : 1705.05929v3 [ math.NT ].
- ^ Sawyer, Jorge F .; Reiter, Clifford A. (2011). "Existen paralelepípedos perfectos". Matemáticas de la Computación . 80 (274): 1037–1040. arXiv : 0907.0220 . doi : 10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7 ..
Referencias
- Leech, John (1977). "El cuboide racional revisitado". American Mathematical Monthly . 84 (7): 518–533. doi : 10.2307 / 2320014 . JSTOR 2320014 .
- Shaffer, Sherrill (1987). "Divisores necesarios de cuboides enteros perfectos". Resúmenes de la American Mathematical Society . 8 (6): 440.
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . págs. 275-283. ISBN 0-387-20860-7.
- Kraitchik, M. (1945). "Sobre ciertos cuboides racionales". Scripta Mathematica . 11 : 317–326.
- Roberts, Tim (2010). "Algunas limitaciones sobre la existencia de un cuboide perfecto". Gaceta de la Sociedad Australiana de Matemáticas . 37 : 29–31. ISSN 1326-2297 .