En geometría , Schläfli orthoscheme es un tipo de simplex . Están definidos por una secuencia de aristas.que son mutuamente ortogonales. Estos fueron introducidos por Ludwig Schläfli , quien los llamó ortosquemas y estudió su volumen en la geometría euclidiana , Lobachevsky y esférica . HSM Coxeter más tarde los nombró en honor a Schläfli. [1] J.-P. Sydler y Børge Jessen los estudiaron extensamente en relación con el tercer problema de Hilbert .
Los ortosquemas, también llamados senderos simples en la literatura de matemáticas aplicadas , son un caso especial de una clase más general de simples estudiados por Fiedler (1957) , [2] y luego redescubiertos por Coxeter (1991) . [1] Estos simples son los cascos convexos de los árboles en los que todos los bordes son mutuamente perpendiculares. En el ortosquema, el árbol subyacente es un camino . En tres dimensiones, un ortosquema también se llama tetraedro birrectangular .
Propiedades
- Todas las 2 caras son triángulos rectángulos .
- Todas las facetas de un ortosquema d -dimensional son ortosquemas ( d - 1) -dimensionales.
- El punto medio del borde más largo es el centro de la esfera circunscrita .
- El caso cuando es un tetraedro Hill generalizado .
- En el espacio euclidiano de 3 y 4 dimensiones, cada politopo convexo es congruente en tijera con un ortosquema.
- ¡Cada hipercubo en el espacio d -dimensional se puede diseccionar en d ! ortosquemas congruentes. Una disección similar en el mismo número de ortosquemas se aplica de manera más general a todos los hiperrectángulos, pero en este caso los ortosquemas pueden no ser congruentes.
- En espacios hiperbólicos y esféricos tridimensionales, el volumen de ortosquemas se puede expresar en términos de la función de Lobachevsky o en términos de dilogaritmos . [3]
Disección en ortosquemas
Hugo Hadwiger conjeturó en 1956 que cada simplex puede diseccionarse en un número finito de ortosquemas. [4] La conjetura ha sido probada en espacios de cinco o menos dimensiones, [5] pero permanece sin resolver en dimensiones superiores. [6]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Coxeter, HSM (1991), "Árboles ortogonales", Proc. Séptimo ACM Symp. Geometría computacional , págs. 89–97
- ^ Fiedler, M. (1957), "Über qualitative Winkeleigenschaften der Simplexe" , Matemáticas checoslovacas. J. , 7 : 463–478
- ^ Vinberg, EB (1993), "Volúmenes de poliedros no euclidianos", Russian Math. Encuestas , 48: 2 : 15–45, doi : 10.1070 / rm1993v048n02abeh001011
- ^ Hadwiger, Hugo (1956), "Ungelöste Probleme" , Elemente der Mathematik , 11 : 109-110
- ^ Tschirpke, Katrin (1994), "La disección de simplices de cinco dimensiones en ortosquemas", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 35 (1): 1-11, MR 1287191
- ^ Brandts, Jan; Korotov, Sergey; Křížek, Michal; Šolc, Jakub (2009), "On nonobtuse simplicial tabitions" (PDF) , SIAM Review , 51 (2): 317–335, doi : 10.1137 / 060669073 , MR 2505583. Ver en particular la Conjetura 23, p. 327.