La forma normal de Hesse que lleva el nombre de Otto Hesse , es una ecuación utilizada en geometría analítica y describe una línea eno un plano en el espacio euclidiano o un hiperplano en dimensiones superiores. [1] [2] Se utiliza principalmente para calcular distancias (ver distancia punto-plano y distancia punto-línea ).
Está escrito en notación vectorial como
El punto indica el producto escalar o producto escalar . El vectorrepresenta la unidad de vector normal de E o g , que los puntos desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia es la distancia desde el origen al plano (o línea).
Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P , que se encuentran precisamente en el plano E (o en 2D, en la línea g ), descrito por el vector de ubicaciónque los puntos desde el origen del sistema de coordenadas de P .
Derivación / Cálculo de la forma normal
Nota: Para simplificar, la siguiente derivación analiza el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.
En la forma normal,
un plano viene dado por un vector normal así como un vector de posición arbitrario de un punto . La dirección de se elige para satisfacer la siguiente desigualdad
Dividiendo el vector normal por su magnitud , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)
y la ecuación anterior se puede reescribir como
Sustituyendo
obtenemos la forma normal de Hesse
En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Porquese cumple para cada punto en el plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con, según la definición del producto Scalar
La magnitud de es la distancia más corta desde el origen hasta el plano.
Referencias
- ^ Bôcher, Maxime (1915), Geometría analítica plana: con capítulos introductorios sobre el cálculo diferencial , H. Holt, p. 44.
- ^ John Vince: geometría para gráficos por computadora . Springer, 2005, ISBN 9781852338343 , págs. 42, 58, 135, 273