En matemáticas , la teoría K de Milnor [1] es un invariante algebraico (denotado para un campo ) definido por John Milnor ( 1970 ) como un intento de estudiar la teoría K algebraica superior en el caso especial de los campos . Se esperaba que esto ayudara a iluminar la estructura de la teoría K algebraica y daría una idea de sus relaciones con otras partes de las matemáticas, como la cohomología de Galois y el anillo de formas cuadráticas de Grothendieck-Witt . Antes de que se definiera la teoría K de Milnor, existían definiciones ad-hoc para y . Afortunadamente, se puede demostrar que la teoría K de Milnor es parte de la teoría K algebraica, que en general es la parte más fácil de calcular. [2]
Definición
Motivación
Después de la definición del grupo Grothendieck de un anillo conmutativo, se esperaba que hubiera un conjunto infinito de invariantes llamados grupos de teoría K superiores, por el hecho de que existe una breve secuencia exacta
que debería tener una continuación de una secuencia larga y exacta. Tenga en cuenta que el grupo de la izquierda es la teoría K relativa. Esto llevó a muchos estudios y, como primera suposición de cómo sería esta teoría, Milnor dio una definición de campos. Su definición se basa en dos cálculos de cómo "debería" verse la teoría K superior en grados y . Entonces, si en una generalización posterior de la teoría K algebraica se dio, si los generadores de vivido en grado y las relaciones en grado , luego las construcciones en grados y daría la estructura para el resto del anillo de la teoría K. Bajo este supuesto, Milnor dio su definición "ad-hoc". Resulta que la teoría K algebraica en general tiene una estructura más compleja, pero para los campos, los grupos de teoría K de Milnor están contenidos en los grupos de teoría K algebraica general después de tensar con , es decir . [3] Resulta que el mapa natural no es inyectable para un campo global [3] pág . 96 .
Definición
Nota para los campos, el grupo de Grothendieck se puede calcular fácilmente como ya que los únicos módulos generados finitamente son espacios vectoriales de dimensión finita. Además, la definición de Milnor de grupos K superiores depende del isomorfismo canónico
para un ideal de dos caras generado por elementos , llamadas relaciones de Steinberg . Milnor tomó la hipótesis de que estas eran las únicas relaciones, por lo que dio la siguiente definición "ad-hoc" de la teoría K de Milnor como
De la prueba de esta propiedad, hay algunas propiedades adicionales que caen, como
por desde . También si de elementos de campos distintos de cero es igual a , luego
Hay una aplicación aritmética directa: es una suma de cuadrados si y solo si cada dimensión positiva es nilpotente, que es una declaración poderosa sobre la estructura de los grupos K de Milnor. En particular, para los campos , con , todos sus grupos K de Milnor son nilpotentes. En el caso inverso, el campo se puede incrustar en un campo cerrado real, lo que da un orden total en el campo.
Relación con los grupos de Chow superior y la teoría K superior de Quillen
Una de las propiedades centrales que relacionan la teoría K de Milnor con la teoría K algebraica superior es el hecho de que existen isomorfismos naturales.
Esto se puede verificar usando un morfismo explícito [2] pág. 181
dónde
Este mapa viene dado por
por la clase del punto con . La principal propiedad a comprobar es que por y . Tenga en cuenta que esto es distinto de ya que este es un elemento en . Además, la segunda propiedad implica la primera para . Esta verificación se puede hacer usando una curva racional que define un ciclo en cuya imagen debajo del mapa de límites es la suma por , mostrando que se diferencian por un límite. Del mismo modo, si el mapa de límites envía este ciclo a , mostrando que se diferencian por un límite. La segunda propiedad principal que se muestra son las relaciones de Steinberg. Con estos, y el hecho de que los grupos Chow superiores tienen una estructura de anillo
obtenemos un mapa explícito
Mostrar el mapa en la dirección inversa es un isomorfismo es más trabajo, pero obtenemos los isomorfismos
Luego podemos relacionar los grupos de Chow superiores con la teoría K algebraica superior utilizando el hecho de que hay isomorfismos
dando la relación con la teoría K algebraica superior de Quillen. Tenga en cuenta que los mapas
de los grupos K de Milnor de un campo a los grupos K de Daniel Quillen , que es un isomorfismo parapero no para n mayor , en general. Para elementos distintos de ceroen F , el símbolo en significa la imagen de en el álgebra tensorial. Cada elemento de la teoría K de Milnor se puede escribir como una suma finita de símbolos. El hecho de que en por a veces se denomina relación de Steinberg .
Representación en cohomología motívica
En la cohomología motívica , específicamente la teoría de la homotopía motívica , hay un haz que representa una generalización de la teoría K de Milnor con coeficientes en un grupo abeliano . Si denotamos entonces definimos la gavilla como la gavilla de la siguiente gavilla previa [5] pág. 4
Tenga en cuenta que las secciones de esta pre-gavilla son clases equivalentes de ciclos en con coeficientes en que son equidimensionales y finitos sobre (que se deriva directamente de la definición de ). Se puede demostrar que hay un -equivalencia débil con las gavillas motívicas de Eilenberg-Maclane (dependiendo de la convención de calificación).
Ejemplos de
Campos finitos
Por un campo finito, es un grupo cíclico de orden (ya que es isomorfo ), por lo que la conmutatividad graduada da
por eso
Porque es un grupo finito, esto implica que debe tener orden . Mirando más lejos siempre se puede expresar como una suma de no residuos cuadráticos, es decir, elementos tal que no son iguales a , por eso demostración . Debido a que las relaciones de Steinberg generan todas las relaciones en el anillo de la teoría K de Milnor, tenemos por .
Numeros reales
Para el campo de los números reales los grupos de teoría K de Milnor se pueden calcular fácilmente. En grado el grupo es generado por
dónde da un grupo de orden y el subgrupo generado por el es divisible. El subgrupo generado por no es divisible porque de lo contrario podría expresarse como una suma de cuadrados. El anillo de la teoría K de Milnor es importante en el estudio de la teoría de la homotopía motívica porque proporciona generadores de parte del álgebra de Steenrod motívica . [6] Los otros son ascensores de las operaciones clásicas de Steenrod a la cohomología motívica.
Otros calculos
es un incontable grupo divisible de forma única. [7] Además,es la suma directa de un grupo cíclico de orden 2 y un grupo incontable unívocamente divisible; es la suma directa del grupo multiplicativo de y un incontable grupo divisible de forma única; es la suma directa del grupo cíclico de orden 2 y los grupos cíclicos de orden para todos los primos impares . Para, . La prueba completa se encuentra en el apéndice del artículo original de Milnor. [1] Algunos de los cálculos se pueden ver mirando un mapa en inducida por la inclusión de un campo global a sus terminaciones , entonces hay un morfismo
cuyo núcleo generado finitamente. Además, el cokernel es isomorfo a las raíces de la unidad en .
Además, para un campo local general (como una extensión finita ), los grupos K de Milnor son divisibles.
K * M (F (t))
Hay un teorema de estructura general de computación. para un campo en relación con la teoría K de Milnor de y extensiones para ideales primos distintos de cero . Esto viene dado por una secuencia exacta
dónde es un morfismo construido a partir de una reducción de a para una valoración discreta . Esto se sigue del teorema que existe solo un homomorfismo
que para el grupo de unidades que son elementos tienen valoración , que tiene un morfismo natural
dónde tenemos
dónde un elemento primordial, es decir , y
Dado que todo ideal primo distinto de cero da una valoración , obtenemos el mapa en los grupos K de Milnor.
La teoría K de Milnor encaja en el contexto más amplio de la cohomología motívica , a través del isomorfismo
de la teoría K de Milnor de un campo con un determinado grupo de cohomología motívica. [8] En este sentido, la definición aparentemente ad hoc de la teoría K de Milnor se convierte en un teorema: ciertos grupos de cohomología motívica de un campo pueden ser calculados explícitamente por generadores y relaciones.
Finalmente, existe una relación entre la teoría K de Milnor y las formas cuadráticas . Para un campo F de característica no 2, defina el ideal fundamental I en el anillo de Witt de formas cuadráticas sobre F como el núcleo del homomorfismo dada por la dimensión de una forma cuadrática, módulo 2. Milnor definió un homomorfismo:
dónde denota la clase de la forma Pfister n- pliegues . [10]
Dmitri Orlov, Alexander Vishik y Voevodsky demostraron otra declaración llamada conjetura de Milnor, a saber, que este homomorfismo es un isomorfismo. [11]
Ver también
Álgebra de Azumaya
Teoría de la homotopía motivacional
Referencias
↑ a b c Milnor, John (1 de diciembre de 1970). "Teoría K algebraica y formas cuadráticas" . Inventiones Mathematicae . 9 (4): 318–344. Código Bibliográfico : 1970InMat ... 9..318M . doi : 10.1007 / BF01425486 . ISSN 1432-1297 . S2CID 13549621 .
^ a bTotaro, Burt . "La teoría K de Milnor es la parte más simple de la teoría K algebraica" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2 de diciembre de 2020.
^ a bShapiro, Jack M. (1 de enero de 1981). "Relaciones entre la teoría K de campos de milnor y quillen" . Revista de álgebra pura y aplicada . 20 (1): 93-102. doi : 10.1016 / 0022-4049 (81) 90051-7 . ISSN 0022-4049 .
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^Voevodsky, Vladimir (15 de julio de 2001). "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica". arXiv : matemáticas / 0107109 .
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^ Un grupo abeliano es divisible de forma única si es un espacio vectorial sobre los números racionales .
^ Mazza, Voevodsky, Weibel (2005), Teorema 5.1.
^ Voevodsky (2011).
^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), secciones 5 y 9.B.
^ Orlov, Vishik, Voevodsky (2007).
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Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Señor 2266528 . Zbl 1137.12001 .
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enlaces externos
Algunos aspectos del functor K 2 {\ Displaystyle K_ {2}} de campos
Sobre el cálculo de Tate de K 2 ( Q ) {\ Displaystyle K_ {2} (\ mathbb {Q})}