El vigésimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Pregunta si todos los problemas de valores en la frontera pueden resolverse (es decir, si los problemas variacionales con ciertas condiciones de frontera tienen soluciones).
Hilbert notó que existían métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales donde los valores de la función se daban en el límite, pero el problema pedía métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales con condiciones más complicadas en el límite (por ejemplo, involucrando derivadas de la función), o para resolver problemas de cálculo de variación en más de una dimensión (por ejemplo, problemas mínimos de superficie o problemas mínimos de curvatura)
Un problema importante estrechamente relacionado con lo anterior [refiriéndose al decimonoveno problema de Hilbert] es la cuestión relativa a la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales cuando se prescriben los valores en el límite de la región. Este problema se resuelve principalmente mediante los métodos entusiastas de HA Schwarz, C. Neumann y Poincaré para la ecuación diferencial del potencial. Sin embargo, estos métodos, por lo general, parecen no ser capaces de extenderse directamente al caso en el que a lo largo de la frontera se prescriben los coeficientes diferenciales o cualquier relación entre estos y los valores de la función. Tampoco pueden extenderse inmediatamente al caso en el que la investigación no es para superficies potenciales sino, por ejemplo, para superficies de área mínima, o superficies de curvatura gaussiana positiva constante, que deben pasar a través de una curva retorcida prescrita o estirarse sobre una determinada. superficie del anillo.Estoy convencido de que será posible probar estos teoremas de existencia mediante un principio general cuya naturaleza está indicada porPrincipio de Dirichlet . Este principio general tal vez nos permita abordar la pregunta: ¿No tienen todos los problemas de variación regular una solución, siempre que se satisfagan ciertos supuestos con respecto a las condiciones de contorno dadas (digamos que las funciones involucradas en estas condiciones de contorno son continuas y tienen en las secciones uno o más derivados), y siempre y cuando sea necesario, que la noción de solución se amplíe adecuadamente. [1]
En el campo de las ecuaciones diferenciales , un problema de valor de frontera es una ecuación diferencial junto con un conjunto de restricciones adicionales, llamadas condiciones de frontera . Una solución a un problema de valor en la frontera es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de la frontera.
Para que sea útil en las aplicaciones, un problema de valor límite debe estar bien planteado . Esto significa que, dada la entrada al problema, existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Gran parte del trabajo teórico en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales se dedica a demostrar que los problemas de valores de frontera que surgen de aplicaciones científicas y de ingeniería están de hecho bien planteados.