El decimonoveno problema de Hilbert

El decimonoveno problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert , establecidos en una lista compilada en 1900 por David Hilbert . ^[1] Se pregunta si las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre analíticas . ^{[2] De manera} informal, y quizás menos directa, dado que el concepto de Hilbert de un " problema variacional regular " identifica precisamente un problema variacional cuya ecuación de Euler-Lagrange es una ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos, ^[3]El decimonoveno problema de Hilbert, a pesar de su enunciado aparentemente técnico, simplemente pregunta si, en esta clase de ecuaciones diferenciales parciales , cualquier función de solución hereda la estructura relativamente simple y bien entendida de la ecuación resuelta. XIX problema de Hilbert se resolvió de forma independiente a finales de 1950 por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash, Jr. .

Historia

Los orígenes del problema

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Funktionen erblicke ich darin, daß es Partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Funktionen der unabhängigen, sindgenh, también analítico. ^[4]

-  David Hilbert , ( Hilbert 1900 , pág. 288).

David Hilbert presentó el ahora llamado problema decimonoveno de Hilbert en su discurso en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos . ^[5] En ( Hilbert 1900 , p. 288) afirma que, en su opinión, uno de los hechos más notables de la teoría de las funciones analíticas es que existen clases de ecuaciones diferenciales parciales que admiten sólo ese tipo de funciones como soluciones. , aduciendo la ecuación de Laplace , la ecuación de Liouville , ^[6] la ecuación superficie mínima y una clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales estudiados por Émile Picard como ejemplos. ^[7]Luego observa el hecho de que la mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales que comparten esta propiedad son la ecuación de Euler-Lagrange de un tipo de problema variacional bien definido, que presenta las siguientes tres propiedades: ^[8]

(1)      ,${\displaystyle {\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]}$

(2)      ,${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0}$

(3)       F es una función analítica de todos sus argumentos p , q , z , x y y .

Hilbert llama a este tipo de problema variacional un " problema variacional regular ": ^{[9] la} propiedad (1) significa que este tipo de problemas variacionales son problemas mínimos , la propiedad (2) es la condición de elipticidad en las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a la funcional , propiedad, mientras que (3) es un simple suposición regularidad la función F . ^[10] Habiendo identificado la clase de problemas a tratar, plantea la siguiente pregunta: - "... ¿toda ecuación diferencial parcial de Lagrange de un problema de variación regular tiene la propiedad de admitir integrales analíticas exclusivamente? " ^[11] y pregunta además si este es el caso incluso cuando se requiere que la función asuma, como sucede con el problema de Dirichlet sobre la función potencial , valores de frontera que son continuos, pero no analíticos. ^[8]

El camino hacia la solución completa

Hilbert planteó su decimonoveno problema como un problema de regularidad para una clase de ecuación diferencial parcial elíptica con coeficientes analíticos, ^[8] por lo que los primeros esfuerzos de los investigadores que buscaban resolverlo se dirigieron a estudiar la regularidad de las soluciones clásicas para ecuaciones pertenecientes a este clase. Para las soluciones C 3   , el problema de Hilbert fue respondido positivamente por Sergei Bernstein  ( 1904 ) en su tesis: demostró que las soluciones C 3   de ecuaciones analíticas elípticas no lineales en 2 variables son analíticas. El resultado de Bernstein fue mejorado a lo largo de los años por varios autores, como Petrowsky (1939)., quien redujo los requisitos de diferenciación de la solución necesarios para demostrar que es analítica. Por otro lado, los métodos directos en el cálculo de variaciones mostraron la existencia de soluciones con propiedades de diferenciabilidad muy débiles. Durante muchos años hubo una brecha entre estos resultados: se sabía que las soluciones que podían construirse tenían segundas derivadas integrables cuadradas, que no eran lo suficientemente fuertes como para alimentar la maquinaria que podía demostrar que eran analíticas, que necesitaban continuidad de primeras derivadas. . Este vacío fue llenado de forma independiente por Ennio De Giorgi  ( 1956 , 1957 ) y John Forbes Nash  ( 1957 , 1958). Pudieron mostrar que las soluciones tenían primeras derivadas que eran continuas de Hölder , lo que por resultados anteriores implicaba que las soluciones son analíticas siempre que la ecuación diferencial tenga coeficientes analíticos, completando así la solución del decimonoveno problema de Hilbert.

Contraejemplos de varias generalizaciones del problema

La respuesta afirmativa al decimonoveno problema de Hilbert dada por Ennio De Giorgi y John Forbes Nash planteó la cuestión de si la misma conclusión es válida también para las ecuaciones de Euler-lagrange de funciones más generales : a fines de la década de 1960, Maz'ya (1968) , ^{[ 12]} De Giorgi (1968) y Giusti & Miranda (1968) construyeron independientemente varios contraejemplos , ^[13] mostrando que en general no hay esperanza de probar tal tipo de resultados de regularidad sin agregar más hipótesis.

Precisamente, Maz'ya (1968) dio varios contraejemplos que involucran una sola ecuación elíptica de orden mayor que dos con coeficientes analíticos: ^[14] para los expertos, el hecho de que este tipo de ecuaciones pudiera tener soluciones no analíticas e incluso no suaves creó una sensación. ^[15]

De Giorgi (1968) y Giusti y Miranda (1968) dieron contraejemplos que muestran que en el caso en que la solución se valora por vector en lugar de escalar, no necesita ser analítica: el ejemplo de De Giorgi consiste en un sistema elíptico con valores acotados. coeficientes, mientras que el de Giusti y Miranda tiene coeficientes analíticos. ^[16] Más adelante, Nečas (1977) proporcionó otros ejemplos más refinados para el problema de valores vectoriales. ^[17]

Teorema de de Giorgi

El teorema clave demostrado por De Giorgi es una estimación a priori que establece que si u es una solución de una PDE lineal de segundo orden estrictamente elíptica adecuada de la forma

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0}$

y tiene primeras derivadas integrables cuadradas, luego es Hölder continua.${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

Aplicación del teorema de De Giorgi al problema de Hilbert

El problema de Hilbert pregunta si los minimizadores de una energía funcional como${\displaystyle w}$

${\displaystyle \int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x}$

son analíticos. Aquí hay una función en algún conjunto compacto de R ⁿ , es su vector de gradiente y es el Lagrangiano, una función de las derivadas de que satisface ciertas condiciones de crecimiento, suavidad y convexidad. La suavidad de se puede demostrar utilizando el teorema de De Giorgi de la siguiente manera. La ecuación de Euler-Lagrange para este problema variacional es la ecuación no lineal${\displaystyle w}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0}$

y diferenciando esto con respecto a da${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0}$

Esto significa que satisface la ecuación lineal${\displaystyle u=w_{x_{k}}}$

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$

con

${\displaystyle a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)}$

por tanto, según el resultado de De Giorgi, la solución w tiene primeras derivadas continuas de Hölder, siempre que la matriz esté acotada. Cuando este no es el caso, se necesita un paso más: hay que demostrar que la solución es Lipschitz continua, es decir, el gradiente es una función.${\displaystyle L_{p_{i}p_{j}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L^{\infty }}$

Una vez que se sabe que w tiene derivadas continuas ( n +1) st de Hölder para algunos n ≥ 1, entonces los coeficientes a ^ij tienen derivadas n ésimas continuas de Hölder , por lo que un teorema de Schauder implica que las derivadas ( n +2) nd también son Hölder continua, por lo que repetir esto infinitamente a menudo muestra que la solución w es suave.

Teorema de Nash

Nash dio una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación parabólica

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)}$

donde u es una función acotada de x ₁ , ..., x _n , t definida para t ≥ 0. De su estimación, Nash pudo deducir una estimación de continuidad para las soluciones de la ecuación elíptica

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$considerando el caso especial cuando u no depende de t .

Notas

1. Ver ( Hilbert 1900 ) o, de manera equivalente, una de sus traducciones.
2. " Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch? " (Traducción al inglés de Mary Frances Winston Newson : - " ¿Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones son siempre necesariamente analíticas? "), Formulando el problema con las mismas palabras de Hilbert (1900 , pág.288).
3. Ver ( Hilbert 1900 , págs. 288-289), o la sección correspondiente sobre el decimonoveno problema en cualquiera de sus traducciones o reimpresiones, o la subsección " Los orígenes del problema " en la sección histórica de esta entrada.
4. Traducción al inglés de Mary Frances Winston Newson: - " Uno de los hechos más notables en los elementos de la teoría de las funciones analíticas me parece que es este: que existen ecuaciones diferenciales parciales cuyas integrales son todas necesariamente funciones analíticas de los variables, es decir, en suma, ecuaciones susceptibles únicamente de soluciones analíticas ".
5. Para un análisis histórico detallado, consulte la entrada correspondiente " Problemas de Hilbert ".
6. Hilbert no cita explícitamente a Joseph Liouville y considera que la curvatura gaussiana constante K es igual a -1/2 : compare la entrada relevante con ( Hilbert 1900 , p. 288).
7. Contrariamente al trabajo de Liouville, Hilbert cita explícitamente el trabajo de Picard (1900 , p. 288 y nota al pie 1 en la misma página).
8. Véase ( Hilbert 1900 , p. 288).
9. " Reguläres Variationsproblem ", en sus palabras exactas. La definición de Hilbert de un problema variacional regular es más fuerte que la que se usa actualmente, que se encuentra, por ejemplo, en ( Gilbarg y Trudinger 2001 , p. 289).
10. Dado que Hilbert considera todas las derivadas en el sentido "clásico", es decir, no en el sentido débil sino en el fuerte , incluso antes del enunciado de su analiticidad en (3) ,se supone quela función F es al menos C 2   , como el uso del determinante de Hesse en (2) implica.
11. Traducción Inglés por Mary Frances Winston Newson: Hilbert (1900 ., P 288) palabras exactas son: - " ... dh ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines Regulares Variationsproblem mueren en Eigenschaft, Dass sie nur analytische Integrale zuläßt " ( cursiva énfasis por El mismo Hilbert).
12. Ver ( Giaquinta 1983 , p. 59), ( Giusti 1994 , p. 7 nota al pie 7 y p. 353), ( Gohberg 1999 , p. 1), ( Hedberg 1999 , pp. 10-11), ( Kristensen & Mingione 2011 , p. 5 y p. 8) y ( Mingione 2006 , p. 368).
13. Ver ( Giaquinta 1983 , págs. 54-59), ( Giusti 1994 , pág. 7 y págs. 353).
14. Ver ( Hedberg 1999 , pp. 10-11), ( Kristensen & Mingione 2011 , p. 5 y p. 8) y ( Mingione 2006 , p. 368).
15. Según ( Gohberg 1999 , p. 1).
16. Ver ( Giaquinta 1983 , pp. 54-59) y ( Giusti 1994 , p. 7, pp. 202-203 y pp. 317-318).
17. Para obtener más información sobre el trabajo de Jindřich Nečas, consulte el trabajo de Kristensen & Mingione (2011 , §3.3, pp. 9-12) y ( Mingione 2006 , §3.3, pp. 369-370).

Referencias

• Bernstein, S. (1904), "Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre" , Mathematische Annalen (en francés), 59 (1-2): 20-76, doi : 10.1007 / BF01444746 , ISSN  0025-5831 , JFM  35.0354.01 , S2CID  121487650.
• Bombieri, Enrico (1975), "Problemas variacionales y ecuaciones elípticas" , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, Vancouver, BC, 1974, vol. 1 , ICM Proceedings, Montreal:. Congreso matemático canadiense, pp 53-63, MR  0.509.259 , Zbl  0.344,49002 , Archivado desde el original (PDF) en 2013-12-31 , recuperados 2011-01-29. Reimpreso en Bombieri, Enrico (1976), "Problemas variacionales y ecuaciones elípticas", en Browder, Felix E. (ed.), Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , XXVIII , Providence, Rhode Island: American Sociedad matemática , págs. 525–535, ISBN 978-0-8218-1428-4, MR  0425740 , Zbl  0.347,35032.
• De Giorgi, Ennio (1956), "Sull'analiticità delle estremali degli integrali multipli", Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , Serie VIII (en italiano), 20 : 438–441, MR  0082045 , Zbl  0074.31503. " Sobre la analiticidad de los extremos de las integrales múltiples " (traducción al inglés del título) es un breve anuncio de investigación que revela los resultados que se detallan más adelante en ( De Giorgi 1957 ). Si bien, de acuerdo con la lista completa de la publicación científica de De Giorgi (De Giorgi 2006 , p. 6), se debe incluir una traducción al inglés en ( De Giorgi 2006 ), desafortunadamente falta.
• De Giorgi, Ennio (1957), "Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari", Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali , Serie III (en italiano), 3 : 25–43, MR  0093649 , Zbl  0084.31901. Traducido al inglés como " Sobre la diferenciabilidad y analiticidad de extremos de integrales múltiples regulares " en ( De Giorgi 2006 , págs. 149-166).
• De Giorgi, Ennio (1968), "Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie IV (en italiano), 1 : 135-137, MR  0227827 , Zbl  0084.31901. Traducido al inglés como " Un ejemplo de extremos discontinuos para un problema variacional de tipo elíptico " en ( De Giorgi 2006 , pp. 285-287).
• De Giorgi, Ennio (2006), Ambrosio, Luigi ; Dal Maso, Gianni ; Forti, Marco; Miranda, Mario ; Spagnolo, Sergio (eds.), Artículos seleccionados , Springer Collected Works in Mathematics, Berlín – Nueva York: Springer-Verlag , págs. X + 889, doi : 10.1007 / 978-3-642-41496-1 , ISBN 978-3-540-26169-8, MR  2229237 , Zbl  1096.01015.
• Giaquinta, Mariano (1983), Integrales múltiples en el cálculo de variaciones y sistemas elípticos no lineales , Annals of Mathematics Studies , 105 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, pp. Vii + 297, ISBN 978-0-691-08330-8, MR  0717034 , Zbl  0.516,49003.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Classics in Mathematics (3ª edición revisada de la 2ª ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York: Springer Verlag, págs. Xiv + 517, ISBN 978-3-540-41160-4, MR  1814364 , Zbl  1042.35002.
• Giusti, Enrico (1994), Metodi diretti nel calcolo delle variazioni , Monografie Matematiche (en italiano), Bolonia : Unione Matematica Italiana , págs. VI + 422, MR  1707291 , Zbl  0942.49002, traducido al inglés como Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations , River Edge, Nueva Jersey - Londres - Singapur: World Scientific Publishing, pp. viii + 403, doi : 10.1142 / 9789812795557 , ISBN 978-981-238-043-2, Señor  1962933 , Zbl  1028.49001.
• Giusti, Enrico ; Miranda, Mario (1968), "Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie IV (en italiano), 2 : 1–8, MR  0232265 , Zbl  0155.44501.
• Gohberg, Israel (1999), "Vladimir Maz'ya: amigo y matemático. Recuerdos", en Rossman, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther (eds.), Colección de aniversario de Maz'ya. Vol. 1: Sobre el trabajo de Maz'ya en análisis funcional, ecuaciones diferenciales parciales y aplicaciones. Basado en charlas dadas en la conferencia, Rostock, Alemania, 31 de agosto - 4 de septiembre de 1998 , Operator Theory. Avances y aplicaciones, 109 , Basilea: Birkhäuser Verlag, págs. 1-5, ISBN 978-3-7643-6201-0, MR  1747861 , Zbl  0.939,01018.
• Hedberg, Lars Inge (1999), "Sobre el trabajo de Maz'ya en la teoría del potencial y la teoría de los espacios funcionales", en Rossmann, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther (eds.), Colección del aniversario de Maz'ya. Volumen 1: Sobre el trabajo de Maz'ya en análisis funcional, ecuaciones diferenciales parciales y aplicaciones , Operator Theory: Advances and Applications, 109 , Basilea : Birkhäuser Verlag, págs. 7–16, doi : 10.1007 / 978-3-0348-8675- 8_2 , ISBN 978-3-0348-9726-6, MR  1747862 , Zbl  0.939,31001
• Hilbert, David (1900), "Mathematische Probleme" , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (en alemán) (3): 253-297, JFM  31.0068.03.
  - Reimpreso como "Mathematische Probleme" , Archiv der Mathematik und Physik , dritte reihe (en alemán), 1 : 44–63 y 253–297, 1900, JFM 32.0084.05 .
  - Traducido al inglés por Mary Frances Winston Newson como Hilbert, David (1902), "Mathematical Problems", Bulletin of the American Mathematical Society , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923- 3 , JFM 33.0976.07 , MR 1557926  .
  - Reimpreso como Hilbert, David (2000), "Mathematical Problems", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 37 (4): 407–436, doi : 10.1090 / S0273-0979-00-00881-8 , MR 1779412 , Zbl 0979.01028  .
  - Traducido al francés por ML Laugel (con adiciones del propio Hilbert) como Hilbert, David (1902), "Sur les problèmes futurs des Mathématiques" , en Duporcq, E. (ed.), Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Procès-Verbaux et Communications , ICM Proceedings, París: Gauthier-Villars, págs. 58-114, JFM 32.0084.06 , archivado desde el original (PDF) el 31 de diciembre de 2013 , consultado el 28 de diciembre de 2013  .
  - Existe también un resumen anterior (y más breve) de la charla original de Hilbert, traducido al francés y publicado como Hilbert, D. (1900), "Problèmes mathématiques", L'Enseignement Mathématique (en francés), 2 : 349–355, doi : 10.5169 / sellos-3575 , JFM 31.0905.03 .
• Kristensen, Jan; Mingione, Giuseppe (octubre de 2011). Bocetos de la teoría de la regularidad del siglo XX y la obra de Jindřich Nečas (PDF) (Informe). Oxford: Centro de Oxford para PDE no lineal. págs. 1-30. OxPDE-11/17. Archivado desde el original (PDF) el 7 de enero de 2014..
• Maz'ya, VG (1968),Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэфациений, Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya (en ruso), 2 (3): 53–57, MR  0237946.
  - Traducido al inglés como Maz'ya, VG (1968), "Ejemplos de soluciones no regulares de ecuaciones elípticas cuasilineales con coeficientes analíticos", Análisis funcional y sus aplicaciones , 2 (3): 230-234, doi : 10.1007 / BF01076124 , S2CID 121038871 , Zbl 0179.43601  .
• Mingione, Giuseppe (2006), "Regularidad de mínimos: una invitación al lado oscuro del cálculo de variaciones". , Aplicaciones de las matemáticas , 51 (4): 355–426, CiteSeerX  10.1.1.214.9183 , doi : 10.1007 / s10778-006-0110-3 , hdl : 10338.dmlcz / 134645 , MR  2291779 , S2CID  16385131 , Zbl  1164.49324.
• Morrey, Charles B. (1966), Integrales múltiples en el cálculo de variaciones , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 130 , Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xii + 506, ISBN 978-3-540-69915-6, MR  0202511 , Zbl  0.142,38701.
• Nash, John (1957), "Parabolic Equations", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 43 (8): 754–758, Bibcode : 1957PNAS ... 43..754N , doi : 10.1073 / pnas.43.8.754 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  89599 , MR  0089986 , PMC  528534 , PMID  16590082 , Zbl  0078.08704.
• Nash, John (1958), "Continuidad de soluciones de ecuaciones parabólicas y elípticas" (PDF) , American Journal of Mathematics , 80 (4): 931–954, Bibcode : 1958AmJM ... 80..931N , doi : 10.2307 / 2372841 , hdl : 10338.dmlcz / 101876 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2372841 , MR  0100158 , Zbl  0096.06902.
• Nečas, Jindřich (1977), "Ejemplo de una solución irregular a un sistema elíptico no lineal con coeficientes analíticos y condiciones de regularidad", en Kluge, Reinhard; Müller, Wolfdietrich (eds.), Teoría de los operadores no lineales: aspectos constructivos. Actas de la cuarta escuela de verano internacional, celebrada en Berlín, RDA, del 22 al 26 de septiembre de 1975 , Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR, 1 , Berlín: Akademie-Verlag, págs. 197–206, MR  0509483 , Zbl  0372.35031.
• Petrowsky, IG (1939), "Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles" , Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (en francés), 5 (47): 3-70, JFM  65.0405.02 , MR  0001425 , Zbl  0022.22601.