En álgebra , la función de Hilbert-Kunz de un anillo local ( R , m ) de característica prima p es la función
donde q es una potencia de p y m [ q ] es el ideal generado por las q -ésimas potencias de elementos del ideal maximal m . [1]
La noción fue introducida por Ernst Kunz , quien la utilizó para caracterizar un anillo regular como un anillo noetheriano en el que el morfismo de Frobenius es plano . Si d es la dimensión del anillo local, Monsky demostró que f(q)/(q^d) es c+O(1/q) para alguna constante real c. Esta constante, la multiplicidad de "Hilbert-Kunz", es mayor o igual a 1. Watanabe y Yoshida reforzaron algunos de los resultados de Kunz, mostrando que en el caso no mixto, el anillo es regular precisamente cuando c=1.
Las funciones y multiplicidades de Hilbert-Kunz se han estudiado por sí mismas. Brenner y Trivedi han tratado anillos locales provenientes de los anillos de coordenadas homogéneos de curvas proyectivas suaves, usando técnicas de geometría algebraica. Han, Monskyy Teixeira han tratado hipersuperficies diagonales y varias hipersuperficies relacionadas. Pero no existe una técnica conocida para determinar la función de Hilbert-Kunz o c en general. En particular, la cuestión de si c es siempre racional no se resolvió hasta hace poco (por Brenner; no tiene por qué serlo y, de hecho, puede ser trascendental). Hochster y Huneke relacionaron las multiplicidades de Hilbert-Kunz con el "cierre hermético" y Brenner y Monsky usaron funciones de Hilbert-Kunz para mostrar que la localización no necesita preservar el cierre hermético. La cuestión de cómo c se comporta cuando la característica tiende al infinito (por ejemplo, para una hipersuperficie definida por un polinomio con coeficientes enteros) también ha recibido atención; una vez más abundan las preguntas abiertas.
Se puede encontrar una descripción general completa en el artículo de Craig Huneke "Las multiplicidades de Hilbert-Kunz y la firma F" arXiv: 1409.0467. Este artículo también se encuentra en las páginas 485-525 del volumen de Springer "Álgebra conmutativa: artículos expositivos dedicados a David Eisenbud con motivo de su 65 cumpleaños", editado por Irena Peeva.