series de Fourier

En matemáticas , una serie de Fourier ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una función periódica compuesta de sinusoides relacionados armónicamente combinados por una suma ponderada. Con los pesos apropiados, se puede hacer que un ciclo (o período ) de la suma se aproxime a una función arbitraria en ese intervalo (o la función completa si también es periódica). Como tal, la sumatoria es una síntesis de otra función. La transformada de Fourier en tiempo discreto es un ejemplo de serie de Fourier. El proceso de derivar pesos que describen una función determinada es una forma de análisis de Fourier . Para funciones en intervalos ilimitados, las analogías de análisis y síntesis son la transformada de Fourier y la transformada inversa.

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos los cuales son consistentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más poderosos y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en el momento en que Fourier completó su trabajo original. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones de valores reales de argumentos reales, y utilizó las funciones seno y coseno como base para la descomposición. Desde entonces, se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier , extendiendo la idea inicial a otras aplicaciones. Esta área general de investigación ahora a veces se llama análisis armónico.. Sin embargo, una serie de Fourier solo se puede usar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto).

Considere una función de valor real, que es integrable en un intervalo de longitud que será el período de la serie de Fourier. La función de correlación:${\ estilo de visualización s (x),}$${\ estilo de visualización P,}$

En lugar de una correlación cruzada computacionalmente intensiva, el análisis de Fourier habitualmente explota una identidad trigonométrica :

donde los parámetros y reemplazan y y se pueden encontrar evaluando la correlación cruzada en solo dos valores de fase : ^[2]${\ Displaystyle a_ {n}}$${\ estilo de visualización b_ {n}}$${\ estilo de visualización A_ {n}}$${\ estilo de visualización \ varphi _ {n},}$

Entonces : y (ver Atan2 ) o más directamente :${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$${\ estilo de visualización \ varphi _ {n} = \ nombre del operador {arctan2} (b_ {n}, a_ {n})}$

La función (en rojo) es una suma de seis funciones sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias armónicamente relacionadas. Su sumatoria se llama serie de Fourier. La transformada de Fourier, (en azul), que representa la amplitud frente a la frecuencia, revela las 6 frecuencias ( en armónicos impares ) y sus amplitudes ( 1/número impar ).${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle S(f)}$

La suma de las componentes sinusoidales de una serie de Fourier es una función periódica, sea o no periódica la función original, s ( x ).

Si es una función contenida en un intervalo de longitud (y cero en cualquier otro lugar), el cuadrante superior derecho es un ejemplo de cómo podrían verse sus coeficientes de la serie de Fourier ( ) cuando se trazan contra sus frecuencias armónicas correspondientes. El cuadrante superior izquierdo es la transformada de Fourier correspondiente de La suma de la serie de Fourier (no se muestra) sintetiza una suma periódica de mientras que la transformada de Fourier inversa (no se muestra) sintetiza solo${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle s(t).}$${\displaystyle s(t),}$${\displaystyle s(t).}$

Gráfico de la onda de diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo${\displaystyle s(x)=x/\pi }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier

Distribución de calor en una placa de metal, utilizando el método de Fourier

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Serie compleja de Fourier trazando la letra 'e'. (El código fuente de Julia que genera los cuadros de esta animación está aquí ^[16] en el Apéndice B).

Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que se pueden utilizar para producir series de Fourier en la esfera .

Los senos y los cosenos forman un conjunto ortonormal, como se ilustra arriba. La integral de seno, coseno y su producto es cero (las áreas verde y roja son iguales y se anulan) cuando , o las funciones son diferentes, y π solo si y son iguales, y la función utilizada es la misma.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$