Conjunto fino (Serre)
En matemáticas , un conjunto delgado en el sentido de Serre , llamado así por Jean-Pierre Serre , es un cierto tipo de subconjunto construido en geometría algebraica sobre un campo dado K , mediante operaciones permitidas que son, en un sentido definido, "improbables". Los dos fundamentales son: resolver una ecuación polinomial que puede o no ser el caso; resolver dentro de K un polinomio que no siempre factoriza. También se permite tomar uniones finitas.
Más precisamente, sea V una variedad algebraica sobre K (los supuestos aquí son: V es un conjunto irreducible , una variedad cuasi proyectiva y K tiene la característica cero ). Un conjunto delgado de tipo I es un subconjunto de V ( K ) que no es denso en Zariski . Eso significa que se encuentra en un conjunto algebraico que es una unión finita de variedades algebraicas de dimensión más bajos que d , la dimensión de V . Un conjunto delgado de tipo II es una imagen de unmorfismo algebraico (esencialmente un mapeo polinomial) φ, aplicado a los puntos K de alguna otra variedad algebraica d -dimensional V ′, que se mapea esencialmente en V como una cubierta ramificada con grado e > 1. Dicho esto más técnicamente, un conjunto delgado del tipo II es cualquier subconjunto de
donde V ′ satisface las mismas suposiciones que V y φ es genéricamente sobreyectiva desde el punto de vista del geómetra. En el nivel de los campos de función , por lo tanto, tenemos
Mientras que un típico punto V de V es φ ( u ) con u en V ', de v tumbado en K ( V ) se puede concluir que por lo general sólo las coordenadas de u provienen de la resolución de un grado correo ecuación sobre K . El objetivo de la teoría de conjuntos delgados es entonces entender que la solubilidad en cuestión es un evento raro. Esto reformula en términos más geométricos el teorema de irreductibilidad clásico de Hilbert .
La terminología delgada puede justificarse por el hecho de que si A es un subconjunto delgado de la línea sobre Q, entonces el número de puntos de A de altura como máximo H es ≪ H : el número de puntos integrales de altura como máximo H es , y este resultado es el mejor posible. [1]
Un resultado de SD Cohen, basado en el método del tamiz grande , extiende este resultado, contando los puntos por función de altura y mostrando, en un sentido fuerte, que un conjunto delgado contiene una baja proporción de ellos (esto se discute en detalle en las Conferencias de Serre sobre el teorema de Mordell-Weil ). Deje que A sea un conjunto delgada en afín n -espacio sobre Q y dejar N ( H ) denotan el número de puntos integrales de altura ingenuo como máximo H . Entonces [2]