En matemáticas y específicamente en geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica puede definirse de varias formas equivalentes.
Algunas de estas definiciones son de naturaleza geométrica, mientras que otras son puramente algebraicas y se basan en el álgebra conmutativa . Algunas están restringidas a variedades algebraicas mientras que otras se aplican también a cualquier conjunto algebraico . Algunas son intrínsecas, como independientes de cualquier inserción de la variedad en un espacio afín o proyectivo , mientras que otras están relacionadas con dicha inserción.
Dimensión de un conjunto algebraico afín
Sea K un campo y L ⊇ K una extensión algebraicamente cerrada. Un conjunto algebraico afín V es el conjunto de los ceros comunes en L n de los elementos de un ideal I en un anillo polinomial Dejar ser el álgebra de las funciones polinómicas más de V . La dimensión de V es cualquiera de los siguientes números enteros. No cambia si K se agranda, si L se reemplaza por otra extensión algebraicamente cerrada de K y si I se reemplaza por otro ideal que tiene los mismos ceros (es decir, que tiene el mismo radical ). La dimensión también es independiente de la elección de coordenadas; en otras palabras, no cambia si los x i son reemplazados por combinaciones lineales linealmente independientes de ellos. La dimensión de V es
- La longitud máxima de las cadenas de no vacío distinta (irreducibles) subvariedades de V .
Esta definición generaliza una propiedad de la dimensión de un espacio euclidiano o un espacio vectorial . Por tanto, es probablemente la definición que ofrece la descripción intuitiva más sencilla de la noción.
- La dimensión Krull de la coordenada anillo A .
Esta es la transcripción de la definición anterior en el lenguaje del álgebra conmutativa , siendo la dimensión de Krull la longitud máxima de las cadenas.de ideales primos de A .
- La dimensión Krull máxima de los anillos locales en los puntos de V .
Esta definición muestra que la dimensión es una propiedad local sies irreductible. Sies irreducible, resulta que todos los anillos locales en puntos cerrados tienen la misma dimensión de Krull (ver [1] ).
- Si V es una variedad, la dimensión de Krull del anillo local en cualquier punto de V
Esto reformula la definición anterior en un lenguaje más geométrico.
- La dimensión máxima de los espacios vector tangente a los no puntos singulares de V .
Esto relaciona la dimensión de una variedad con la de una variedad diferenciable . Más precisamente, si V se define sobre los reales, entonces el conjunto de sus puntos regulares reales, si no está vacío, es una variedad diferenciable que tiene la misma dimensión que una variedad y una variedad.
- Si V es una variedad, la dimensión del espacio de vector tangente en cualquier no punto singular de V .
Este es el análogo algebraico del hecho de que una variedad conectada tiene una dimensión constante. Esto también se puede deducir del resultado indicado debajo de la tercera definición, y del hecho de que la dimensión del espacio tangente es igual a la dimensión de Krull en cualquier punto no singular (ver espacio tangente de Zariski ).
- El número de hiperplanos o hipersuperficies en posición general que se necesitan para tener una intersección con V que se reduce a un número finito de puntos distinto de cero.
Esta definición no es intrínseca ya que se aplica solo a conjuntos algebraicos que están explícitamente incrustados en un espacio afín o proyectivo.
- La longitud máxima de una secuencia regular en la coordenada anillo A .
Esta es la traducción algebraica de la definición anterior.
- La diferencia entre n y la longitud máxima de las secuencias regulares contenidas en I .
Ésta es la traducción algebraica del hecho de que la intersección de n - d hipersuperficies generales es un conjunto algebraico de dimensión d .
- El grado del polinomio de Hilbert de una .
- El grado del denominador del desarrollo de Hilbert de una .
Esto permite, a través de un cálculo de base de Gröbner, calcular la dimensión del conjunto algebraico definido por un sistema dado de ecuaciones polinómicas .
- La dimensión del complejo simplicial cuyo anillo de Stanley-Reisner es dónde es el radical de cualquier ideal inicial de I.
Tomar ideales iniciales conserva el polinomio / serie de Hilbert, y tomar radicales conserva la dimensión. [2]
- Si I es un ideal primo (es decir, V es una variedad algebraica), el grado trascendencia sobre K del campo de las fracciones de A .
Esto permite probar fácilmente que la dimensión es invariante bajo equivalencia bracional .
Dimensión de un conjunto algebraico proyectivo
Sea V un conjunto algebraico proyectivo definido como el conjunto de los ceros comunes de un ideal homogéneo I en un anillo polinomialsobre un campo K , y dejar que A = R / I sea el álgebra graduada de los polinomios más de V .
Se aplican todas las definiciones del apartado anterior, con el cambio de que, cuando A o I aparecen explícitamente en la definición, el valor de la dimensión debe reducirse en uno. Por ejemplo, la dimensión de V es uno menos que la dimensión Krull de A .
Cálculo de la dimensión
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un campo algebraicamente cerrado, puede resultar difícil calcular la dimensión del conjunto algebraico que define.
Sin más información sobre el sistema, solo existe un método práctico, que consiste en calcular una base de Gröbner y deducir el grado del denominador de la serie de Hilbert del ideal generado por las ecuaciones.
El segundo paso, que suele ser el más rápido, puede acelerarse de la siguiente manera: en primer lugar, la base de Gröbner se reemplaza por la lista de sus principales monomios (esto ya se hizo para el cálculo de la serie de Hilbert). Entonces cada monomio como se reemplaza por el producto de las variables que contiene: A continuación, la dimensión es el tamaño máximo de un subconjunto S de las variables, de tal manera que ninguno de estos productos de variables sólo depende de las variables en S .
Este algoritmo se implementa en varios sistemas de álgebra informática . Por ejemplo, en Maple , esta es la función Groebner [HilbertDimension], y en Macaulay2 , esta es la función dim .
Dimensión real
La dimensión real de un conjunto de puntos reales, típicamente un conjunto semialgebraico , es la dimensión de su cierre Zariski . Para un conjunto semialgebraico S , la dimensión real es uno de los siguientes enteros iguales: [3]
- La verdadera dimensión de es la dimensión de su cierre Zariski.
- La verdadera dimensión de es el entero máximo tal que hay un homeomorfismo de en .
- La verdadera dimensión de es el entero máximo tal que hay una proyección de sobre un -subespacio dimensional con un interior no vacío .
Para un conjunto algebraico definido sobre los reales (que está definido por polinomios con coeficientes reales), puede ocurrir que la dimensión real del conjunto de sus puntos reales sea menor que su dimensión como conjunto semi algebraico. Por ejemplo, la superficie algebraica de la ecuación es una variedad algebraica de dimensión dos, que tiene solo un punto real (0, 0, 0) y, por lo tanto, tiene la dimensión real cero.
La dimensión real es más difícil de calcular que la dimensión algebraica. Para el caso de una hipersuperficie real (que es el conjunto de soluciones reales de una única ecuación polinomial), existe un algoritmo probabilístico para calcular su dimensión real. [4]
Ver también
- Teoría de la dimensión (álgebra)
- Dimensión de un esquema
Referencias
- ^ Capítulo 11 de Atiyah, Michael Francis; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8 .
- ^ Cox, David A .; Pequeño John; O'Shea, Donal Ideals, variedades y algoritmos. Una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa. Cuarta edición. Textos de Licenciatura en Matemáticas. Springer, Cham, 2015.
- ^ Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2003), Algoritmos en geometría algebraica real (PDF) , Algoritmos y computación en matemáticas, 10 , Springer-Verlag
- ^ Ivan, Bannwarth; Mohab, Safey El Din (2015), Algoritmo probabilístico para calcular la dimensión de conjuntos algebraicos reales , Actas del simposio internacional de 2015 sobre cálculo simbólico y algebraico, ACM