Topología Zariski
En geometría algebraica y álgebra conmutativa , la topología de Zariski es una topología que se define principalmente por sus conjuntos cerrados . Es muy diferente a las topologías que se usan comúnmente en el análisis real o complejo ; en particular, no es Hausdorff . [1] Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para convertir el conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo en un espacio topológico, llamado espectro del anillo.
La topología de Zariski permite utilizar herramientas de la topología para estudiar variedades algebraicas, incluso cuando el campo subyacente no es un campo topológico . Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas , que permite construir variedades algebraicas generales pegando variedades afines de una manera similar a la de la teoría de variedades , donde las variedades se construyen pegando gráficos , que son subconjuntos abiertos de variedades afines reales. espacios _
La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. [1] En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos , la topología de Zariski es, por lo tanto, más gruesa que la topología habitual, ya que todo conjunto algebraico es cerrado para la topología habitual.
La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se deriva del Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un campo algebraicamente cerrado y los ideales maximales del anillo de sus funciones regulares. . Esto sugiere definir la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales maximales de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales maximales es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales maximales que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría del esquema de Grothendieck es considerar como puntos, no sólo los puntos usuales correspondientes a ideales maximales, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles), que corresponden a ideales primos. Así, la topología de Zariski sobre el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.
En la geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas , que fueron introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define sobre variedades algebraicas . [2] La topología de Zariski, definida sobre los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son las afines y las proyectivas , conviene hacer más explícita esta definición en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un campo fijo algebraicamente cerrado k(en geometría clásica k es casi siempre los números complejos ).
Primero, definimos la topología sobre el espacio afín formado por las n -tuplas de elementos de k . La topología se define especificando sus conjuntos cerrados, en lugar de sus conjuntos abiertos, y estos se toman simplemente como todos los conjuntos algebraicos de Es decir, los conjuntos cerrados son aquellos de la forma
