En matemáticas , un operador integral de Hilbert-Schmidt es un tipo de transformada integral . Específicamente, dado un dominio (un conjunto abierto y conectado ) Ω en n - espacio euclidiano dimensional R n , un núcleo de Hilbert-Schmidt es una función k : Ω × Ω → C con
(es decir, la norma L 2 (Ω × Ω; C ) de k es finita), y el operador integral de Hilbert-Schmidt asociado es el operador K : L 2 (Ω; C ) → L 2 (Ω; C ) dado por
Entonces K es un operador de Hilbert-Schmidt con la norma de Hilbert-Schmidt
Los operadores integrales de Hilbert-Schmidt son tanto continuos (y por lo tanto acotados) y compactos (como con todos los operadores de Hilbert-Schmidt).
El concepto de operador Hilbert-Schmidt puede extenderse a cualquier espacio de Hausdorff localmente compacto . Específicamente, sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto equipado con una medida de Borel positiva . Suponga además que L 2 ( X ) es un espacio de Hilbert separable . La condición anterior en el núcleo k en R n se puede interpretar como exigente que k pertenezca a L 2 ( X × X ). Entonces el operador
es compacto . Si
entonces K también es autoadjunto y, por lo tanto, se aplica el teorema espectral . Ésta es una de las construcciones fundamentales de tales operadores, que a menudo reduce los problemas sobre espacios vectoriales de dimensión infinita a preguntas sobre espacios propios de dimensión finita bien entendidos. Consulte el Capítulo 2 del libro de Bump en las referencias para ver ejemplos.
Ver también
Referencias
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 262. ISBN 0-387-00444-0. (Secciones 8.1 y 8.5)
- Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 55 . Cambridge: Cambridge University Press. pag. 168. ISBN 0-521-65818-7.