En matemáticas , un conjunto de IP es un conjunto de números naturales que contiene todas las sumas finitas de un conjunto infinito .
Las sumas finitos de un conjunto D de los números naturales son todos esos números que se pueden obtener mediante la suma de los elementos de algunos finito no vacío subconjunto de D . El conjunto de todas las sumas finitas sobre D a menudo se denota como FS ( D ). Un poco más en general, para una secuencia de números naturales ( n i ), se puede considerar el conjunto de sumas finitas FS (( n i )), que consta de las sumas de todas las subsecuencias de longitud finita de ( n i ).
Un conjunto A de números naturales es un conjunto IP si existe un conjunto infinito D tal que FS ( D ) es un subconjunto de A . De manera equivalente, se puede requerir que A contenga todas las sumas finitas FS (( n i )) de una secuencia ( n i ).
Algunos autores dan una definición ligeramente diferente de conjuntos de IP: requieren que FS ( D ) sea igual a A en lugar de ser simplemente un subconjunto.
El término conjunto IP fue acuñado por Furstenberg y Weiss [1] para abreviar " i nfinite-dimensional p arallelepiped ". Por casualidad, la abreviatura IP también se puede expandir a " i dem p otent" [2] (un conjunto es IP si y solo si es miembro de un ultrafiltro idempotente ).
Teorema de hindman
Si es un conjunto de IP y , entonces al menos uno es un conjunto de IP. Esto se conoce como teorema de Hindman o teorema de sumas finitas . [3] [4] En términos diferentes, el teorema de Hindman establece que la clase de conjuntos de IP es partición regular .
Dado que el conjunto de números naturales en sí mismo es un conjunto de IP y las particiones también pueden verse como colorantes, se puede reformular un caso especial del teorema de Hindman en términos más familiares: Supongamos que los números naturales están "coloreados" con n colores diferentes; cada número natural obtiene uno y solo uno de los n colores. Entonces existe un color cy un conjunto infinito D de números naturales, todos coloreados con c , de modo que toda suma finita sobre D también tiene el color c .
El teorema de Milliken-Taylor es una generalización común del teorema de Hindman y del teorema de Ramsey .
Semigrupos
La definición de ser IP se ha ampliado desde subconjuntos del semigrupo especial de números naturales con la adición de subconjuntos de semigrupos y semigrupos parciales en general. Una variante del teorema de Hindman es cierta para semigrupos arbitrarios. [5] [6]
Ver también
Referencias
- ^ Harry, Furstenberg (julio de 2014). Recurrencia en teoría ergódica y teoría combinatoria de números . Princeton, Nueva Jersey. ISBN 9780691615363. OCLC 889248822 .
- ^ Bergelson, V .; Leibman, A. (2016). "Conjuntos de valores grandes de funciones de correlación para configuraciones cúbicas polinómicas". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 38 (2): 499–522. doi : 10.1017 / etds.2016.49 . ISSN 0143-3857 . S2CID 31083478 .
- ^ Hindman, Neil (1974). "Sumas finitas de secuencias dentro de las células de una partición de N". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 17 (1): 1–11. doi : 10.1016 / 0097-3165 (74) 90023-5 . hdl : 10338.dmlcz / 127803 .
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- ^ Golan, Gili; Tsaban, Boaz (2013). "Teorema de coloración de Hindmanʼs en semigrupos arbitrarios". Revista de álgebra . 395 : 111-120. arXiv : 1303.3600 . doi : 10.1016 / j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID 11437903 .
- ^ Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998). Álgebra en la compactificación Stone-Čech: teoría y aplicaciones . Nueva York: Walter de Gruyter. ISBN 311015420X. OCLC 39368501 .
- Vitaly Bergelson , IJH Knutson, R. McCutcheon " Aproximación diofántica simultánea y sistemas VIP " Acta Arith. 116 , Academia Scientiarum Polona, (2005), 13-23
- Vitaly Bergelson , " Idempotentes mínimos y teoría ergódica de Ramsey " Temas de dinámica y teoría ergódica 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310 , Cambridge Univ. Prensa, Cambridge, (2003)
- Bergelson, V .; Hindman, N. (2001). "Las estructuras regulares de partición contenidas en grandes conjuntos son abundantes". J. Comb. Una teoría . 93 : 18–36. doi : 10.1006 / jcta.2000.3061 .Una copia a disposición del público es conducido por uno de los autores.
- H. Furstenberg , B. Weiss, "Dinámica topológica y teoría de números combinatorios", J. Anal. Matemáticas. 34 (1978), págs. 61–85
- J. McLeod, " Algunas nociones de tamaño en semigrupos parciales ", Actas de topología , vol. 25 (2000), págs. 317–332