En topología diferencial , un área de las matemáticas , el teorema de la firma de Hirzebruch [1] (a veces llamado teorema del índice de Hirzebruch) es el resultado de 1954 de Friedrich Hirzebruch que expresa la firma de una variedad orientada compacta suave mediante una combinación lineal de números de Pontryagin llamados L -género . Se utilizó en la demostración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .
Declaración del teorema
El género L es el género de la secuencia multiplicativa de polinomios asociados a la serie de potencias característica.
Los dos primeros de los L-polinomios resultantes son:
Tomando por el las clases de Pontryagin del haz tangente de una variedad M compacta y orientada lisa de 4 n dimensiones, se obtienen las clases L de M. Hirzebruch mostró que la clase L n-ésima de M evaluada en la clase fundamental de M,, es igual a , La firma de M (es decir, la firma del formulario de intersección en la 2 n -ésimo grupo cohomology de M):
Bosquejo de la prueba del teorema de la firma
René Thom había demostrado anteriormente que la firma estaba dada por alguna combinación lineal de números Pontryagin , y Hirzebruch encontró la fórmula exacta para esta combinación lineal al introducir la noción del género de una secuencia multiplicativa.
Dado que el anillo de cobordismo de orientación racional es igual a
el álgebra polinomial generada por las clases de cobordismo orientado de los espacios proyectivos complejos incluso dimensionales , es suficiente verificar que
por todo i.
Generalizaciones
El teorema de la firma es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de la firma . El índice analítico del operador de firma es igual a la firma de la variedad, y su índice topológico es el género L de la variedad. Según el teorema del índice de Atiyah-Singer, estos son iguales.
Referencias
- ^ Hirzebruch, Friedrich (1995) [Publicado por primera vez en 1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (Reimpresión de la 2ª, corrección. De la 3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6.
Fuentes
- F. Hirzebruch, El teorema de la firma. Reminiscencias y recreación. Perspectivas en matemáticas, Anales de estudios matemáticos, Banda 70, 1971, S. 3-31.
- Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios matemáticos. Prensa de la Universidad de Princeton; Prensa de la Universidad de Tokio. ISBN 0-691-08122-0.