En el campo de la topología , la firma es un invariante entero que se define para una variedad orientada M de dimensión divisible por cuatro .
Este invariante de una variedad se ha estudiado en detalle, comenzando con el teorema de Rokhlin para 4 variedades y el teorema de la firma de Hirzebruch .
Definición
Dada una variedad M conectada y orientada de dimensión 4 k , el producto de copa da lugar a una forma cuadrática Q en el grupo de cohomología real 'medio'
- .
La identidad básica del producto en taza.
muestra que con p = q = 2 k el producto es simétrico . Toma valores en
- .
Si asumimos también que M es compacto , la dualidad de Poincaré identifica esto con
que se puede identificar con . Por lo tanto, el producto en taza, bajo estas hipótesis, da lugar a una forma bilineal simétrica en H 2 k ( M , R ); y por lo tanto a una forma cuadrática Q . La forma Q no es degenerada debido a la dualidad de Poincaré, ya que se empareja de manera no degenerada consigo misma. [1] [2] De manera más general, la firma se puede definir de esta manera para cualquier poliedro compacto general con dualidad de Poincaré 4n- dimensional.
La firma de M es por definición la firma de Q , un triple ordenado según su definición. Si M no está conectado, su firma se define como la suma de las firmas de sus componentes conectados.
Otras dimensiones
Si M tiene una dimensión no divisible por 4, su firma generalmente se define como 0. Hay una generalización alternativa en la teoría L : la firma se puede interpretar como el grupo L simétrico 4 k -dimensional (simplemente conectado)o como el grupo L cuadrático de 4 k- dimensionesy estos invariantes no siempre desaparecen para otras dimensiones. El invariante de Kervaire es un mod 2 (es decir, un elemento de) para colectores enmarcados de dimensión 4 k +2 (el grupo L cuadrático), mientras que el invariante de Rham es un invariante mod 2 de variedades de dimensión 4 k +1 (el grupo L simétrico); los otros grupos L dimensionales desaparecen.
Invariante de Kervaire
Cuándo es dos veces un número entero impar ( solo par ), la misma construcción da lugar a una forma bilineal antisimétrica . Dichos formularios no tienen una firma invariante; si no son degenerados, dos de tales formas son equivalentes. Sin embargo, si se toma un refinamiento cuadrático de la forma, que ocurre si se tiene una variedad enmarcada , entonces las formas ε-cuadráticas resultantes no necesitan ser equivalentes, ya que se distinguen por el invariante Arf . El invariante resultante de una variedad se llama invariante de Kervaire .
Propiedades
René Thom (1954) mostró que la firma de una variedad es un invariante de cobordismo, y en particular viene dada por alguna combinación lineal de sus números de Pontryagin . [3] Por ejemplo, en cuatro dimensiones, está dado por. Friedrich Hirzebruch (1954) encontró una expresión explícita para esta combinación lineal como el género L de la variedad. William Browder (1962) demostró que un poliedro compacto simplemente conectado con dualidad de Poincaré 4 n- dimensional es homotopía equivalente a una variedad si y solo si su firma satisface la expresión del teorema de la firma de Hirzebruch .
Ver también
- Teorema de la firma de Hirzebruch
- Género de una secuencia multiplicativa
- Teorema de Rokhlin
Referencias
- ^ Milnor, John; Stasheff, James (1962). Clases características . Annals of Mathematics Studies 246. p. 224. CiteSeerX 10.1.1.448.869 . ISBN 978-0691081229.
- ^ Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica (PDF) (Repr. Ed.). Cambridge: Universidad de Cambridge. Pr. pag. 250. ISBN 978-0521795401. Consultado el 8 de enero de 2017 .
- ^ Thom, René. "Quelques proprietes globales des varietes differentiables" (PDF) (en francés). Comm. Matemáticas. Helvetici 28 (1954), págs . 17–86 . Consultado el 26 de octubre de 2019 .