En matemáticas , la clase fundamental es una clase de homología [ M ] asociada a una variedad compacta orientable conectada de dimensión n , que corresponde al generador del grupo de homología . Se puede pensar en la clase fundamental como la orientación de los simplices de dimensión superior de una triangulación adecuada de la variedad.
Definición
Cerrado, orientable
Cuando M es una variedad cerrada orientable conectada de dimensión n , el grupo de homología superior es cíclico infinito : , y una orientación es una elección de generador, una elección de isomorfismo . El generador se llama clase fundamental .
Si M está desconectado (pero aún orientable), una clase fundamental es la suma directa de las clases fundamentales para cada componente conectado (correspondiente a una orientación para cada componente).
En relación con la cohomología de De Rham , representa la integración sobre M ; a saber, para M un múltiple liso, un n -form ω se puede combinar con la clase fundamental como
que es la integral de ω sobre M , y depende solo de la clase de cohomología de ω.
Clase Stiefel-Whitney
Si M no es orientable,, por lo que no se puede definir una clase fundamental M que viva dentro de los enteros. Sin embargo, cada colector cerrado es-orientable y (para M conectado). Así, cada colector cerrado es-oriented (no sólo orientar poder : no hay ambigüedad en la elección de la orientación), y tiene una-clase fundamental.
Esto -la clase fundamental se utiliza para definir la clase Stiefel-Whitney .
Con límite
Si M es una variedad compacta orientable con límite, entonces el grupo de homología relativa superior es nuevamente cíclico infinito, y la noción de clase fundamental se extiende al caso relativo.
Dualidad de Poincaré
Para cualquier grupo abeliano y entero no negativo se puede obtener un isomorfismo
- .
utilizando el producto cap de la clase fundamental y el -grupo de cohomología. Este isomorfismo le da a Poincaré dualidad:
- .
La dualidad de Poincaré se extiende al caso relativo.
Véase también la dualidad Twisted Poincaré
Aplicaciones
En la descomposición de Bruhat de la variedad bandera de un grupo de Lie , la clase fundamental corresponde a la celda de Schubert de dimensión superior , o equivalentemente al elemento más largo de un grupo Coxeter .
Ver también
Referencias
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401. Señor 1867354 .
enlaces externos
- Clase fundamental en Manifold Atlas.
- El artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre la clase fundamental .