Sea X cualquier variable aleatoria de valor real con valor esperado , tal que casi seguro , es decir, con probabilidad uno. Entonces, para todos,
Tenga en cuenta que la siguiente prueba se basa en la suposición de que la variable aleatoria tiene expectativa cero (es decir, asumiendo que ), por lo tanto, la y en el lema debe satisfacer . Para cualquier variable aleatoria, que no obedezca a este supuesto, podemos definir, que obedecen los supuestos y aplican la prueba en .
Primero tenga en cuenta que si uno de o es cero, entonces y sigue la desigualdad. Si ambos son distintos de cero, entonces debe ser negativo y debe ser positivo.
A continuación, recuerda que es una función convexa en la línea real:
Aplicando a ambos lados de la desigualdad anterior nos da:
Dejar y definir:
está bien definido en , para ver esto calculamos:
La definición de implica
Según el teorema de Taylor , para cada real existe un Entre y tal que
Tenga en cuenta que:
Por lo tanto,
Esto implica