En geometría plana , el teorema de Holditch establece que si se permite que una cuerda de longitud fija gire dentro de una curva convexa cerrada, entonces el lugar geométrico de un punto en la cuerda a una distancia p de un extremo y una distancia q del otro es una curva cerrada. cuya área cerrada es menor que la de la curva original por. El teorema fue publicado en 1858 por el reverendo Hamnet Holditch . [1] [2] Aunque Holditch no lo menciona, la demostración del teorema requiere suponer que la cuerda sea lo suficientemente corta como para que el lugar geométrico trazado sea una curva cerrada simple. [3]
Observaciones
El teorema se incluye como uno de los 250 hitos de Clifford Pickover en la historia de las matemáticas . [1] Algunas peculiaridades del teorema incluyen que la fórmula del áreaes independiente de la forma y el tamaño de la curva original, y que la fórmula del área es la misma que para la de la zona de una elipse con semiejes p y q . El autor del teorema fue un presidente del Caius College, Cambridge .
Extensiones
Broman [3] da un enunciado más preciso del teorema, junto con una generalización. La generalización permite, por ejemplo, considerar el caso en el que la curva exterior es un triángulo , de modo que las condiciones del enunciado preciso del teorema de Holditch no se cumplen porque las trayectorias de los extremos de la cuerda tienen porciones retrógradas (porciones que retroceden ellos mismos) siempre que se atraviesa un ángulo agudo . Sin embargo, la generalización muestra que si la cuerda es más corta que cualquiera de las altitudes del triángulo , y es lo suficientemente corta como para que el lugar geométrico trazado sea una curva simple, la fórmula de Holditch para el área intermedia sigue siendo correcta (y sigue siéndolo si el triángulo es reemplazado por cualquier polígono convexo con una cuerda suficientemente corta). Sin embargo, otros casos dan como resultado fórmulas diferentes.
Referencias
- ^ a b Pickover, Clifford (1 de septiembre de 2009), "Teorema de Holditch" , El libro de matemáticas: de Pitágoras a la 57ª dimensión, 250 hitos en la historia de las matemáticas , Sterling, p. 250, ISBN 978-1-4027-5796-9
- ^ Holditch, Rev. Hamnet (1858), "teorema geométrico" , Quarterly Journal of Matemática Pura y Aplicada , 2 : 38
- ^ a b Broman, Arne (1981), "Teorema de Holditch: una nueva mirada a un teorema olvidado hace mucho tiempo", Mathematics Magazine , 54 (3): 99–108, doi : 10.2307 / 2689793 , JSTOR 2689793 , MR 0618595
Otras lecturas
- B. Williamson, FRS , Un tratado elemental sobre el cálculo integral: que contiene aplicaciones a curvas planas y superficies, con numerosos ejemplos (Longmans, Green, Londres, 1875; 2nd 1877; 3rd 1880; 4th 1884; 5th 1888; 6th 1891; 7th 1896; 8 de 1906; 1912, 1916, 1918, 1926); Ist 1875 , págs. 192-193, con cita de Holditch's Prize Question en The Lady's and Gentleman's Diary para 1857 (aparecido a finales de 1856), con extensión de Woolhouse en el número de 1858; 5 de 1888 ; 8th 1906 págs. 206–211
- J. Edwards, Tratado sobre el cálculo integral con aplicaciones, ejemplos y problemas, vol. 1 (Macmillan, Londres, 1921), Cap. XV, esp. Secciones 478, 481–491, 496 (véase también el Cap. XIX para centros instantáneos, ruletas y glisettes); expone y hace referencia a extensiones debidas a Woolhouse, Elliott, Leudesdorf, Kempe, basándose en el libro anterior de Williamson.
- Kılıç, Erol; Keleş, Sadık (1994), "Sobre el teorema de Holditch y el impulso de inercia polar", Facultad de Ciencias de las Comunicaciones de la Universidad de Ankara , Serie A1: Matemáticas y Estadística, 43 (1–2): 41–47 (1996), MR 1404786
- Cooker, Mark J. (julio de 1998), "Una extensión del teorema de Holditch en el área dentro de una curva cerrada", The Mathematical Gazette , 82 (494): 183–188, doi : 10.2307 / 3620400 , JSTOR 3620400
- Cooker, Mark J. (marzo de 1999), "On barrer un área", The Mathematical Gazette , 83 (496): 69–73, doi : 10.2307 / 3618685 , JSTOR 3618685
- Apostol, Tom M .; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), "9.13 Observaciones sobre el teorema de Holditch" , New Horizons in Geometry , The Dolciani Mathematical Expositions, 47 , Washington, DC: Mathematical Association of America, págs. 291-294, ISBN 978-0-88385-354-2, MR 3024916
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Teorema de Holditch" , MathWorld