En geometría , la altura de un triángulo es un segmento de línea que pasa por un vértice y es perpendicular a (es decir, forma un ángulo recto con) una línea que contiene la base (el lado opuesto al vértice). Esta línea que contiene el lado opuesto se llama base extendida de la altitud. La intersección de la base extendida y la altitud se llama pie.de la altitud. La longitud de la altitud, a menudo llamada simplemente "la altitud", es la distancia entre la base extendida y el vértice. El proceso de dibujar la altitud desde el vértice hasta el pie se conoce como bajar la altitud en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .
Las altitudes se pueden utilizar en el cálculo del área de un triángulo: la mitad del producto de la longitud de una altitud y la longitud de su base es igual al área del triángulo. Por lo tanto, la altitud más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las altitudes también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .
En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altitud que tiene el lado incongruente como base tendrá el punto medio de ese lado como su pie. Además, la altitud que tiene el lado incongruente como base será la bisectriz del ángulo del vértice.
Es común marcar la altitud con la letra h (como en altura ), a menudo subindicada con el nombre del lado al que se dibuja la altitud.
En un triángulo rectángulo , la altitud dibujado a la hipotenusa c divide la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q . Si denotamos la longitud de la altitud por h c , entonces tenemos la relación
Para los triángulos agudos, los pies de las altitudes caen todos sobre los lados del triángulo (no extendidos). En un triángulo obtuso (uno con un ángulo obtuso ), el pie de la altitud al vértice de ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las altitudes a los vértices de ángulo agudo caen en el lado extendido opuesto. , exterior al triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtuso, una altura que cae perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, interseca el lado horizontal extendido fuera del triángulo.
Ortocentro
Los tres (posiblemente extendida) altitudes de intersección en un solo punto, llamado el ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H . [1] [2] El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo (es decir, no tiene un ángulo mayor o igual que un ángulo recto). Si un ángulo es un ángulo recto, el ortocentro coincide con el vértice en el ángulo recto. [2]
Sea A , B , C los vértices y también los ángulos del triángulo, y sea a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | sean las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales [3]
Dado que las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo , en el vértice en ángulo recto de un triángulo rectángulo y en el exterior de un triángulo obtuso .
En el plano complejo , deje que los puntos A , B y C representen los números , y, respectivamente, y suponga que el circuncentro del triángulo ABC está ubicado en el origen del plano. Entonces, el número complejo
está representado por el punto H , es decir, el ortocentro del triángulo ABC . [4] A partir de esto, se pueden establecer directamente las siguientes caracterizaciones del ortocentro H mediante vectores libres :
La primera de las identidades vectoriales anteriores también se conoce como el problema de Sylvester , propuesto por James Joseph Sylvester . [5]
Propiedades
Sean D , E y F los pies de las altitudes de A , B y C respectivamente. Luego:
- El producto de las longitudes de los segmentos en los que el ortocentro divide una altitud es el mismo para las tres altitudes: [6] [7]
- El círculo centrado en H que tiene un radio de la raíz cuadrada de esta constante es el círculo polar del triángulo . [8]
- La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde la base a la longitud de la altitud es 1: [9] (Esta propiedad y la siguiente son aplicaciones de una propiedad más general de cualquier punto interior y la tres cevianos a través de él.)
- La suma de las razones en las tres altitudes de la distancia del ortocentro desde el vértice a la longitud de la altitud es 2: [9]
- El conjugado isogonal del ortocentro es el circuncentro del triángulo. [10]
- El conjugado isotómico del ortocentro es el punto simmediano del triángulo anticomplementario . [11]
- Cuatro puntos en el plano, de manera que uno de ellos sea el ortocentro del triángulo formado por los otros tres, se denomina sistema ortocéntrico o cuadrilátero ortocéntrico.
Relación con círculos y cónicas.
Denotan la circunferencia circunscrita del triángulo por R . Entonces [12] [13]
Además, denotando r como el radio de del triángulo incircle , r un , r b y r c como los radios de sus excircles , y R de nuevo como el radio de su circunferencia circunscrita, las siguientes relaciones mantenga con respecto a las distancias del ortocentro de los vértices: [14]
Si cualquier altitud, por ejemplo, AD , se extiende para intersecar la circunferencia en P , de modo que AP es una cuerda de la circunferencia, entonces el pie D biseca el segmento HP : [7]
Las directrices de todas las parábolas que son externamente tangentes a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan a través del ortocentro. [15]
Una circuncónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola rectangular . [dieciséis]
Relación con otros centros, el círculo de nueve puntos
El ortocentro H , el centroide G , el circuncentro O y el centro N del círculo de nueve puntos se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler . [17] El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la que hay entre el centroide y el ortocentro: [18]
El ortocentro está más cerca del incentro I que del centroide, y el ortocentro está más lejos que el incentro del centroide:
En términos de los lados a, b, c , en radio r y circunradio R , [19]
- [20] : pág. 449
Triángulo órtico
Si el triángulo ABC es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo del pedal del ortocentro del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de altitud . Es decir, los pies de las altitudes de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico, DEF . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico DEF es el ortocentro del triángulo original ABC . [21]
Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo órtico están dadas por
- D = 0: seg B : seg C
- E = seg A : 0: seg C
- F = seg A : seg B : 0 .
Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos colineales . [22] [23] [21]
En cualquier triángulo agudo , el triángulo inscrito con el perímetro más pequeño es el triángulo órtico. [24] Ésta es la solución al problema de Fagnano , planteado en 1775. [25] Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia en los vértices del triángulo original. [26]
El triángulo órtico de un triángulo agudo proporciona una ruta de luz triangular. [27]
Las líneas tangentes del círculo de nueve puntos en los puntos medios de los lados de ABC son paralelas a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico. [28]
El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangencial , construido de la siguiente manera: sea L A la línea tangente al círculo circunferencial del triángulo ABC en el vértice A , y defina L B y L C de forma análoga. Sea A " = L B ∩ L C , B" = L C ∩ L A , C " = L C ∩ L A. El triángulo tangencial es A" B "C" , cuyos lados son las tangentes al círculo circunferencial del triángulo ABC en sus vértices; es homotético al triángulo órtico. El circuncentro del triángulo tangencial y el centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial están en la línea de Euler . [20] : pág. 447
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo tangencial están dadas por
- A " = - a : b : c
- B " = a : - b : c
- C " = a : b : - c .
Para obtener más información sobre el triángulo órtico, consulte aquí .
Algunos teoremas de altitud adicionales
Altitud en cuanto a los lados
Para cualquier triángulo con lados a, b, cy semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 , la altitud del lado a viene dada por
Esto se deduce de la combinación de la fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área (1/2) × × base de altura, donde la base se toma como lado una y la altura es la altura de A .
Teoremas de Inradius
Considere un triángulo arbitrario con lados a, b, cy con altitudes correspondientes h a , h b y h c . Las altitudes y el radio del círculo r están relacionados por [29] : Lema 1
Teorema del circunradio
Denotando la altitud desde un lado de un triángulo como h una , los otros dos lados como b y c , y del triángulo circunradio (radio de círculo circunscrito del triángulo) como R , la altura viene dada por [30]
Punto interior
Si p 1 , p 2 y p 3 son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h 1 , h 2 y h 3 son las altitudes a los lados respectivos, entonces [31]
Teorema del área
Denotando las altitudes de cualquier triángulo de lados a , b , y c , respectivamente, como, , y , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como tenemos [32]
Punto general en una altitud
Si E es cualquier punto en una altitud AD de cualquier triángulo ABC , entonces [33] : 77–78
Triángulos de casos especiales
Triángulo equilátero
Para cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero , la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altitud del triángulo. Este es el teorema de Viviani .
Triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo las tres alturas h una , h b y h c (los dos primeros de los cuales son iguales a la longitud de las piernas b y un respectivamente) están relacionados de acuerdo con [34] [35]
Esto también se conoce como el teorema de Pitágoras inverso .
Historia
El teorema de que las tres alturas de un triángulo se encuentran en un solo punto, el ortocentro, fue probado por primera vez en una publicación de 1749 de William Chapple . [36]
Ver también
- Centro triangular
- Mediana (geometría)
Notas
- ^ Smart 1998 , p. 156
- ↑ a b Berele y Goldman , 2001 , p. 118
- ^ "Copia archivada" de Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centres . Archivado desde el original el 19 de abril de 2012 . Consultado el 19 de abril de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
- ^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorin , "Números complejos de la A a la ... Z". Birkhäuser, Boston, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , página 90, Proposición 3
- ^ Dörrie, Heinrich, "100 grandes problemas de matemáticas elementales. Su historia y solución". Dover Publications, Inc., Nueva York, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , página 142
- ^ Johnson 2007 , p. 163, Sección 255
- ^ a b " " Ortocentro de un triángulo " " . Archivado desde el original el 5 de julio de 2012 . Consultado el 4 de mayo de 2012 .
- ^ Johnson 2007 , p. 176, Sección 278
- ^ a b Panapoi, Ronnachai, "Algunas propiedades del ortocentro de un triángulo" , Universidad de Georgia .
- ^ Smart 1998 , p. 182
- ^ Weisstein, Eric W. "conjugado isotómico" de MathWorld - un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Orthocenter". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram.
- ^ Altshiller-Court 2007 , p. 102
- ^ Bell, Amy, "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su inverso y una generalización", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
- ^ Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
- ^ Berele y Goldman 2001 , p. 123
- ^ Berele y Goldman 2001 , págs. 124-126
- ^ Marie-Nicole Gras, "Distancias entre el circuncentro del triángulo extouch y los centros clásicos", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
- ^ a b Smith, Geoff y Leversha, Gerry, "Euler y geometría del triángulo", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 436–452.
- ^ a b William H. Barker, Roger Howe (2007). "§ VI.2: Las coincidencias clásicas". Simetría continua: de Euclides a Klein . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 292. ISBN 0-8218-3900-4.Véase también: Corolario 5.5, pág. 318.
- ^ Johnson 2007 , p. 199, Sección 315
- ^ Altshiller-Court 2007 , p. 165
- ^ Johnson 2007 , p. 168, Sección 264
- ^ Berele y Goldman 2001 , págs. 120-122
- ^ Johnson 2007 , p. 172, Sección 270c
- ^ Bryant, V. y Bradley, H., "Rutas triangulares de luz", Mathematical Gazette 82, julio de 1998, 298-299.
- ^ Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery Approach , HarperCollins, pág. 6, ISBN 0-06-500006-4
- ^ Dorin Andrica y Dan S ̧tefan Marinescu. "Nuevas desigualdades de interpolación a R de Euler ≥ 2r". Forum Geometricorum , volumen 17 (2017), págs. 149-156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
- ^ Johnson 2007 , p. 71, Sección 101a
- ^ Johnson 2007 , p. 74, Sección 103c
- ^ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
- ^ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
- ^ Voles, Roger, "Soluciones enteras de, " Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269-271.
- ^ Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
- ^ Bogomolny, Alexander , "Posiblemente la primera prueba de la concurrencia de altitudes" , Cut The Knot , consultado el 17 de noviembre de 2019
Referencias
- Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry , Dover Publications
- Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría / Teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
- Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
- Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Altitud" . MathWorld .
- Ortocentro de un triángulo con animación interactiva
- Demostración animada de construcción de ortocentros Compás y regla.
- El problema de Fagnano por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project .