Función holomorfa
En matemáticas , una función holomorfa es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es complejamente diferenciable en una vecindad de cada punto en un dominio en el espacio de coordenadas complejo Cn . La existencia de una derivada compleja en una vecindad es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor ( analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .
Aunque el término función analítica a menudo se usa indistintamente con "función holomorfa", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de un tipo más general) que se puede escribir como una serie de potencia convergente. en una vecindad de cada punto en su dominio . Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo . [1]
Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares . [2] [3] Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se llama función entera . La frase "holomórfico en un punto z 0 " significa no solo diferenciable en z 0 , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de z 0 en el plano complejo.
Dada una función f de valor complejo de una sola variable compleja, la derivada de f en un punto z 0 en su dominio se define como el límite [4]
Esta es la misma definición que para la derivada de una función real , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, se toma como límite el número complejo z que tiende a z 0 , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos de z que tiende a z 0 . Si existe el límite, f se dice complejo diferenciable en z 0 . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto ,regla del cociente y regla de la cadena . [5]
Una función es holomorfa en un conjunto abierto U , si es diferenciable compleja en cada punto de U . Una función f es holomorfa en un punto z 0 si es holomorfa en alguna vecindad de z 0 . [6] Una función es holomorfa en algún conjunto A no abierto si es holomorfa en todos los puntos de A .
