En álgebra homológica en matemáticas , la categoría de homotopía K (A) de los complejos de cadena en una categoría aditiva A es un marco para trabajar con homotopías de cadena y equivalencias de homotopía. Se encuentra en un lugar intermedio entre la categoría de complejos de cadena Kom (A) de A y la categoría derivada D (A) de A cuando A es abeliano ; a diferencia de la primera, es una categoría triangulada y, a diferencia de la segunda, su formación no requiere que A sea abeliano. Filosóficamente, mientras que D (A)hace isomorfismos de cualquier mapa de complejos que son cuasi-isomorfismos en Kom (A) , K (A) lo hace solo para aquellos que son cuasi-isomorfismos por una "buena razón", es decir, que tienen una equivalencia inversa hasta la homotopía. Por tanto, K (A) es más comprensible que D (A) .
Definiciones
Sea A una categoría aditiva . La categoría de homotopía K (A) se basa en la siguiente definición: si tenemos los complejos A , B y mapas f , g de A a B , una homotopía en cadena de f a g es una colección de mapas( no un mapa de complejos) tal que
- o simplemente
Esto se puede representar como:
También decimos que f y g son homotópicos en cadena , o quees nulo-homotópico u homotópico a 0 . De la definición se desprende claramente que los mapas de complejos que son homotópicos nulos forman un grupo por adición.
La categoría de homotopía de los complejos de cadena K (A) se define entonces de la siguiente manera: sus objetos son los mismos que los objetos de Kom (A) , es decir , los complejos de cadena . Sus morfismos son "mapas de complejos módulo homotopía": es decir, definimos una relación de equivalencia
- si f es homotópico ag
y definir
ser el cociente por esta relación. Está claro que esto da como resultado una categoría aditiva si se observa que esto es lo mismo que tomar el cociente por el subgrupo de mapas homotópicos nulos.
Las siguientes variantes de la definición también se utilizan ampliamente: si se toman solo delimitado por debajo ( A n = 0 para n << 0 ), delimitado por encima ( A n = 0 para n >> 0 ), o acotado ( A n = 0 para | n | >> 0 ) complejos en lugar de ilimitados, se habla de la categoría de homotopía acotada por debajo, etc. Se denotan por K + (A) , K - (A) y K b (A) , respectivamente .
Un morfismo que es un isomorfismo en K (A) se llama equivalencia de homotopía . En detalle, esto significa que hay otro mapa, de manera que las dos composiciones son homotópicas a las identidades: y .
El nombre "homotopía" proviene del hecho de que los mapas homotópicos de espacios topológicos inducen mapas homotópicos (en el sentido anterior) de cadenas singulares .
Observaciones
Dos homotopic cadena mapas de f y g inducir los mismos mapas en la homología porque (f - g) envía ciclos a los límites , que son cero en la homología. En particular, una equivalencia de homotopía es un cuasi-isomorfismo . (Lo contrario es falso en general.) Esto muestra que hay un funtor canónicoa la categoría derivada (si A es abeliano ).
La estructura triangulada
El desplazamiento A [1] de un complejo A es el siguiente complejo
- (tenga en cuenta que ),
donde el diferencial es .
Para el cono de un morfismo f tomamos el cono de mapeo . Hay mapas naturales
Este diagrama se llama triángulo . La categoría de homotopía K (A) es una categoría triangulada , si uno define los triángulos distinguidos como isomorfos (en K (A) , es decir, homotopía equivalente) a los triángulos de arriba, para A , B y f arbitrarios . Lo mismo es cierto para las variantes limitadas K + (A) , K - (A) y K b (A) . Aunque los triángulos también tienen sentido en Kom (A) , esa categoría no está triangulada con respecto a estos triángulos distinguidos; por ejemplo,
no se distingue ya que el cono del mapa de identidad no es isomorfo al complejo 0 (sin embargo, el mapa cero es una equivalencia de homotopía, por lo que este triángulo se distingue en K (A) ). Además, la rotación de un triángulo distinguido obviamente no se distingue en Kom (A) , pero (menos obviamente) se distingue en K (A) . Consulte las referencias para obtener más detalles.
Generalización
De manera más general, la categoría de homotopía Ho (C) de una categoría C graduada diferencial se define para tener los mismos objetos que C , pero los morfismos se definen por. (Esto se reduce a la homotopía de complejos de cadenas si C es la categoría de complejos cuyos morfismos no tienen que respetar los diferenciales). Si C tiene conos y se desplaza en un sentido adecuado, entonces Ho (C) también es una categoría triangulada.
Referencias
- Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .