En matemáticas , especialmente en álgebra homológica , una categoría de calificación diferencial , a menudo abreviada como categoría dg o categoría DG , es una categoría cuyos conjuntos de morfismos están dotados de la estructura adicional de una categoría graduada diferencial.-módulo.
En detalle, esto significa que , los morfismos de cualquier objeto A a otro objeto B de la categoría es una suma directa
y hay un diferencial d en este grupo clasificado, es decir, para cada n hay un mapa lineal
- ,
que tiene que satisfacer . Esto es equivalente a decir quees un complejo cochain . Además, la composición de morfismosSe requiere que sea un mapa de complejos, y para todos los objetos A de la categoría, se requiere.
Ejemplos de
- Cualquier categoría de aditivo puede considerarse una categoría de DG imponiendo la clasificación trivial (es decir, todos desaparecer para ) y diferencial trivial ().
- Un poco más sofisticada es la categoría de complejos. sobre una categoría aditiva . Por definición, es el grupo de mapas que no necesitan respetar los diferenciales de los complejos A y B , es decir,
- .
- El diferencial de tal morfismo de grado n se define como
- ,
- dónde son los diferenciales de A y B , respectivamente. Esto se aplica a la categoría de complejos de poleas cuasi coherentes en un esquema sobre un anillo.
- Una categoría DG con un objeto es lo mismo que un anillo DG. Un anillo DG sobre un campo se llama álgebra DG o álgebra graduada diferencial .
Otras propiedades
La categoría de categorías de dg pequeñas puede estar dotada de una estructura de categoría modelo tal que las equivalencias débiles son aquellos functores que inducen una equivalencia de categorías derivadas . [1]
Dado un dg-categoría C sobre algún anillo R , hay una noción de suavidad y probidad de C que reduce a las nociones habituales de lisas y morfismos adecuadas en caso C es la categoría de haces cuasi-coherente en algún esquema X sobre R .
Relación con categorías trianguladas
Un DG de categoría C se llama pre-triangulado si tiene un functor de suspensióny una clase de triángulos distinguidos compatibles con la suspensión, de modo que su categoría de homotopía Ho ( C ) es una categoría triangulada . Una categoría triangulado T se dice que tiene un dg mejora C si C es un pretriangulated dg categoría cuya categoría homotopy es equivalente a T . [2] Las mejoras dg de un functor exacto entre categorías trianguladas se definen de manera similar. En general, no es necesario que existan mejoras dg de categorías trianguladas o functores entre ellas, por ejemplo, se puede demostrar que la categoría de homotopía estable no surge de una categoría dg de esta manera. Sin embargo, existen varios resultados positivos, por ejemplo, la categoría D ( A ) derivada de una categoría A abeliana de Grothendieck admite una mejora de dg única.
Ver también
Referencias
- ^ Tabuada, Gonçalo (2005), "Invariants additifs de DG-catégories", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 2005 (53): 3309–3339, doi : 10.1155 / IMRN.2005.3309 , ISSN 1073-7928 , S2CID 119162782
- ^ Ver Alberto Canonaco; Paolo Stellari (2017), "Un recorrido sobre la existencia y singularidad de las mejoras y elevaciones de dg", Journal of Geometry and Physics , 122 : 28–52, arXiv : 1605.00490 , Bibcode : 2017JGP ... 122 ... 28C , doi : 10.1016 / j.geomphys.2016.11.030 , S2CID 119326832 para un estudio de los resultados de existencia y unicidad de las mejoras de dg mejoras de dg.
- Keller, Bernhard (1994), "Deriving DG Categories" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033 / asens.1689 , ISSN 0012-9593 , MR 1258406 , archivado desde el original el 5 de junio de 2011 , consultado el 11 de agosto de 2011