En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un "functor de traducción" y una clase de "triángulos exactos". Ejemplos destacados son la categoría derivada de una categoría abeliana , así como la categoría de homotopía estable . Los triángulos exactos generalizan las secuencias exactas cortas en una categoría abeliana, así como las secuencias de fibras y las secuencias de cofibras en topología.
Gran parte del álgebra homológica se aclara y amplía mediante el lenguaje de las categorías trianguladas, siendo un ejemplo importante la teoría de la cohomología de gavillas . En la década de 1960, un uso típico de categorías trianguladas era ampliar propiedades de poleas en un espacio X para complejos de poleas, vistos como objetos de la categoría derivado de poleas en X . Más recientemente, las categorías trianguladas se han convertido en objetos de interés por derecho propio. Se han probado o conjeturado muchas equivalencias entre categorías trianguladas de diferentes orígenes. Por ejemplo, la conjetura de simetría especular homológica predice que la categoría derivada de una variedad Calabi-Yau es equivalente a laCategoría Fukaya de su variedad simpléctica "espejo" .
Historia
Las categorías trianguladas fueron introducidas de forma independiente por Dieter Puppe (1962) y Jean-Louis Verdier (1963), aunque los axiomas de Puppe eran menos completos (carecían del axioma octaédrico (TR 4)). [1] Puppe estaba motivado por la categoría de homotopía estable. El ejemplo clave de Verdier fue la categoría derivada de una categoría abeliana, que también definió, desarrollando ideas de Alexander Grothendieck . Las primeras aplicaciones de las categorías derivadas incluyeron la dualidad coherente y la dualidad Verdier , que extiende la dualidad de Poincaré a espacios singulares.
Definición
Un cambio o traducción funtor en una categoría D es un automorfismo aditivo (o para algunos autores, un auto equivalencia )de D a D . Es común escribirpara enteros n .
Un triángulo ( X , Y , Z , u , v , w ) consta de tres objetos X , Y y Z , junto con morfismos, y . Los triángulos generalmente se escriben en forma deshilachada:
o
para abreviar.
Una categoría triangulada es una categoría aditiva D con un functor de traslación y una clase de triángulos, llamados triángulos exactos [2] (o triángulos distinguidos ), que satisfacen las siguientes propiedades (TR 1), (TR 2), (TR 3) y ( TR 4). (Estos axiomas no son completamente independientes, ya que (TR 3) se puede derivar de los demás. [3] )
TR 1
- Para cada objeto X , el siguiente triángulo es exacto:
- Por cada morfismo , hay un objeto Z (llamado cono o cofre del morfismo u ) que encaja en un triángulo exacto
- El nombre "cono" proviene del cono de un mapa de complejos de cadenas , que a su vez se inspiró en el cono de mapeo en topología. De los otros axiomas se deduce que un triángulo exacto (y en particular el objeto Z ) está determinado hasta el isomorfismo por el morfismo , aunque no siempre hasta un isomorfismo único. [4]
- Cada triángulo isomorfo a un triángulo exacto es exacto. Esto significa que si
- es un triángulo exacto, y , , y son isomorfismos, entonces
- también es un triángulo exacto.
TR 2
Si
es un triángulo exacto, entonces también lo son los dos triángulos rotados
y
En vista del último triángulo, el objeto Z [−1] se llama fibra del morfismo.
El segundo triángulo girado tiene una forma más compleja cuando y no son isomorfismos sino sólo equivalencias de categorías mutuamente inversas, ya que es un morfismo de a , y obtener un morfismo para hay que componer con la transformación natural . Esto conduce a preguntas complejas sobre los posibles axiomas que uno tiene que imponer a las transformaciones naturales que hacen y en un par de equivalencias inversas. Debido a este problema, la suposición de que y son isomorfismos mutuamente inversos es la elección habitual en la definición de una categoría triangulada.
TR 3
Dados dos triángulos exactos y un mapa entre los primeros morfismos de cada triángulo, existe un morfismo entre los terceros objetos en cada uno de los dos triángulos que hace que todo se conmute . Es decir, en el siguiente diagrama (donde las dos filas son triángulos exactos y f y g son morfismos tales que gu = u′f ), existe un mapa h (no necesariamente único) que hace que todos los cuadrados se conmuten:
TR 4: El axioma octaédrico
Dejar y ser morfismos, y considerar el morfismo compuesto . Forme triángulos exactos para cada uno de estos tres morfismos de acuerdo con TR 1. El axioma octaédrico establece (aproximadamente) que los tres conos de mapeo se pueden convertir en los vértices de un triángulo exacto para que "todo se conmute".
Más formalmente, triángulos exactos dados
- ,
existe un triangulo exacto
tal que
Este axioma se llama "axioma octaédrico" porque al dibujar todos los objetos y morfismos se obtiene el esqueleto de un octaedro , cuatro de cuyas caras son triángulos exactos. La presentación aquí es del propio Verdier y aparece, completa con diagrama octaédrico, en (Hartshorne 1966 ). En el diagrama siguiente, u y v son los morfismos dadas, y las letras cebadas son los conos de varios mapas (elegidos de modo que cada triángulo exacto tiene una X , un Y , y un Z letra). Se han marcado varias flechas con [1] para indicar que son de "grado 1"; por ejemplo, el mapa de Z ′ a X es de hecho de Z ′ a X [1]. El axioma octaédrico afirma entonces la existencia de mapas f y g formando un triángulo exacto, de modo que f y g forman triángulos conmutativos en las otras caras que los contienen:
En (Beilinson, Bernstein & Deligne 1982 ) aparecen dos imágenes diferentes (Gelfand y Manin ( 2006 ) también presentan la primera). El primero presenta las pirámides superior e inferior del octaedro anterior y afirma que dada una pirámide inferior, se puede rellenar una pirámide superior para que los dos caminos de Y a Y ′, y de Y ′ a Y , sean iguales (esta condición se omite, quizás erróneamente, de la presentación de Hartshorne). Los triángulos marcados con + son conmutativos y los marcados con "d" son exactos:
El segundo diagrama es una presentación más innovadora. Los triángulos exactos se presentan linealmente, y el diagrama enfatiza el hecho de que los cuatro triángulos en el "octaedro" están conectados por una serie de mapas de triángulos, donde tres triángulos (es decir, los que completan los morfismos de X a Y , de Y a Z , y de X a Z ) y se afirma la existencia del cuarto. Se pasa entre los dos primeros "pivotando" alrededor de X , al tercero pivotando alrededor de Z y al cuarto pivotando alrededor de X '. Todos los recintos en este diagrama son conmutativos (tanto los trigones como el cuadrado) pero el otro cuadrado conmutativo, que expresa la igualdad de los dos caminos de Y ′ a Y , no es evidente. Todas las flechas que apuntan "fuera del borde" son de grado 1:
Este último diagrama también ilustra una interpretación intuitiva útil del axioma octaédrico. En las categorías trianguladas, los triángulos juegan el papel de secuencias exactas, por lo que es sugerente pensar en estos objetos como "cocientes", y . En esos términos, la existencia del último triángulo expresa por un lado
- (mirando el triangulo ), y
- (mirando el triangulo ).
Poniendo estos juntos, el axioma octaédrico afirma el "teorema del tercer isomorfismo":
Si la categoría triangulada es la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A , y X , Y , Z son objetos de A vistos como complejos concentrados en grado 0, y los mapas y son monomorfismos en A , entonces los conos de estos morfismos en D ( A ) son en realidad isomorfo a los cocientes más arriba en A .
Finalmente, Neeman ( 2001 ) formula el axioma octaédrico utilizando un diagrama conmutativo bidimensional con 4 filas y 4 columnas. Beilinson, Bernstein y Deligne ( 1982 ) también dan generalizaciones del axioma octaédrico.
Propiedades
Aquí hay algunas consecuencias simples de los axiomas para una categoría D triangulada .
- Dado un triángulo exacto
- en D , la composición de dos morfismos sucesivos cualesquiera es cero. Es decir, vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0, etc. [5]
- Dado un morfismo , TR 1 garantiza la existencia de un cono Z que completa un triángulo exacto. Dos conos cualesquiera de u son isomorfos, pero el isomorfismo no siempre está determinado de forma unívoca. [4]
- Todo monomorfismo en D es la inclusión de un sumando directo,, y todo epimorfismo es una proyección. [6] Un punto relacionado es que no se debe hablar de "inyectividad" o "sobrejetividad" para los morfismos en una categoría triangulada. Cada morfismoque no es un isomorfismo tiene un "cokernel" Z distinto de cero (lo que significa que hay un triángulo exacto) y también un "núcleo" distinto de cero, a saber, Z [−1].
No funcionalidad de la construcción del cono
Una de las complicaciones técnicas con las categorías trianguladas es el hecho de que la construcción del cono no es funcional. Por ejemplo, dado un anillo y el mapa parcial de triángulos distinguidos
en , hay dos mapas que completan este diagrama. Este podría ser el mapa de identidad o el mapa cero.
ambos son conmutativos. El hecho de que existan dos mapas es una sombra del hecho de que una categoría triangulada es una herramienta que codifica los límites de homotopía y colimit . Grothendieck propuso una solución para este problema en la que no solo se considera la categoría derivada, sino también la categoría derivada de los diagramas de esta categoría. Tal objeto se llama Derivador .
Ejemplos de
- Los espacios vectoriales más de un campo k forman una categoría de triangulada elemental en la que X [1] = X para todos X . Un triángulo exacto es una secuenciade k -mapas lineales (escribiendo el mismo mapados veces) que es exacta en X , Y y Z .
- Si A es una categoría aditiva (por ejemplo, una categoría abeliana), defina la categoría de homotopía tener objetos los complejos en A , y como morfismos las clases de homotopía de morfismos de complejos. Luegoes una categoría triangulada. [7] El desplazamiento X [1] es el complejo X movido un paso hacia la izquierda (y con diferenciales multiplicados por −1). Un triángulo exacto en es un triángulo isomorfo en al triangulo asociado a algún mapa de complejos de cadenas. (Aquídenota el cono de mapeo de un mapa de cadena.)
- La categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una categoría triangulada. [8] Se construye a partir de la categoría de complejos C ( A ) localizando con respecto a todos los cuasi-isomorfismos . Es decir, adjuntar formalmente un morfismo inverso para cada cuasi-isomorfismo. Los objetos de D ( A ) no cambian; es decir, son complejos de cadenas. Un triángulo exacto en D ( A ) es un triángulo que es isomorfo en D ( A ) al triángulo asociado a algún mapa de complejos de cadenas.
Una motivación clave para la categoría derivada es que los functores derivados en A pueden verse como functores en la categoría derivada. [9] Algunas subcategorías naturales de D ( A ) también son categorías trianguladas, por ejemplo, la subcategoría de complejos X cuyos objetos de cohomologíaen A desaparecen para i suficientemente negativo, suficientemente positivo, o ambos, llamado, respectivamente. - En topología, la categoría de homotopía estable es una categoría triangulada. [10] Los objetos son espectros , el desplazamiento X [1] es la suspensión (o lo que es equivalente, la delooping ), y los triángulos exactos son las secuencias de cofibras. Una característica distintiva de la categoría de homotopía estable (en comparación con la categoría de homotopía inestable ) es que las secuencias de fibras son las mismas que las secuencias de cofibras. De hecho, en cualquier categoría triangulada, los triángulos exactos pueden verse como secuencias de fibras y también como secuencias de cofibras.
- En la teoría de la representación modular de un grupo finito G , la categoría de módulo estable StMod ( kG ) es una categoría triangulada. Sus objetos son las representaciones de G sobre un campo k , y los morfismos son los habituales módulo los que factorizan a través de módulos kG proyectivos (o equivalentemente inyectivos ) . De manera más general, la categoría de módulo estable se define para cualquier álgebra de Frobenius en lugar de kG .
¿Existen mejores axiomas?
Algunos expertos sospechan [11] pág. 190 (ver, por ejemplo, (Gelfand & Manin 2006 , Introducción, Capítulo IV)) que las categorías trianguladas no son realmente el concepto "correcto". La razón esencial es que el cono de un morfismo es único solo hasta un isomorfismo no único . En particular, el cono de un morfismo en general, no dependen functorially en el morfismo (nota de la no unicidad en axioma (TR 3), por ejemplo). Esta no unicidad es una fuente potencial de errores. Sin embargo, los axiomas funcionan adecuadamente en la práctica y hay una gran cantidad de literatura dedicada a su estudio.
Derivadores
Una propuesta alternativa es la teoría de los derivadores propuesta en Perseguir pilas de Grothendieck en los años 80 [11] pág. 191 , y posteriormente desarrollada en los 90 en su manuscrito sobre el tema. Esencialmente, estos son un sistema de categorías de homotopía dadas por las categorías del diagrama. para una categoría con una clase de equivalencias débiles . Estas categorías se relacionan luego por los morfismos de los diagramas.. Este formalismo tiene la ventaja de poder recuperar los límites y colímites de homotopía, lo que sustituye a la construcción del cono.
Categorías ∞ estables
Otra alternativa construida es la teoría de categorías ∞ estables . La categoría de homotopía de una categoría ∞ estable se triangula canónicamente y, además, los conos de mapeo se vuelven esencialmente únicos (en un sentido homotópico preciso). Además, una categoría ∞ estable codifica naturalmente toda una jerarquía de compatibilidades para su categoría de homotopía, en la parte inferior de la cual se encuentra el axioma octaédrico. Por lo tanto, es estrictamente más fuerte dar los datos de una categoría ∞ estable que dar los datos de una triangulación de su categoría de homotopía. Casi todas las categorías trianguladas que surgen en la práctica provienen de categorías ∞ estables. Un enriquecimiento similar (pero más especial) de las categorías trianguladas es la noción de categoría dg .
De alguna manera, las categorías ∞ estables o las categorías dg funcionan mejor que las categorías trianguladas. Un ejemplo es la noción de un funtor exacto entre categorías trianguladas, que se analiza a continuación. Para una variedad proyectiva uniforme X sobre un campo k , la categoría derivada acotada de poleas coherentes proviene de una categoría dg de forma natural. Para las variedades X e Y , cada funtor de la categoría dg de X a la de Y proviene de un complejo de poleas enpor la transformada de Fourier-Mukai . [12] Por el contrario, hay un ejemplo de un funtor exacto de a que no proviene de un complejo de gavillas en . [13] En vista de este ejemplo, la noción "correcta" de un morfismo entre categorías trianguladas parece ser una que proviene de un morfismo de categorías dg subyacentes (o categorías ∞ estables).
Otra ventaja de las categorías ∞ estables o categorías dg sobre las categorías trianguladas aparece en la teoría K algebraica . Se puede definir la teoría K algebraica de una categoría ∞ estable o categoría C dg , dando una secuencia de grupos abelianospara enteros i . El grupotiene una descripción sencilla en términos de la categoría triangulado asociada a C . Pero un ejemplo muestra que los grupos K superiores de una categoría dg no siempre están determinados por la categoría triangulada asociada. [14] Por lo tanto, una categoría triangulada tiene un bien definido grupo, pero en general no grupos K superiores.
Por otro lado, la teoría de categorías trianguladas es más simple que la teoría de categorías ∞ estables o categorías dg, y en muchas aplicaciones la estructura triangulada es suficiente. Un ejemplo es la prueba de la conjetura de Bloch-Kato , donde se realizaron muchos cálculos a nivel de categorías trianguladas y no se requirió la estructura adicional de categorías ∞ o categorías dg.
Cohomología en categorías trianguladas
Las categorías trianguladas admiten una noción de cohomología, y cada categoría triangulada tiene una gran cantidad de functores cohomológicos. Un functor cohomológico F de una categoría D triangulada a una categoría abeliana A es un funtor tal que para cada triángulo exacto
la secuencia en A es exacta. Dado que un triángulo exacto determina una secuencia infinita de triángulos exactos en ambas direcciones,
un functor cohomológico F en realidad da una secuencia larga exacta en la categoría abeliana A :
Un ejemplo clave es: para cada objeto B en una categoría D triangulada , los functores y son cohomológicos, con valores en la categoría de grupos abelianos . [15] (Para ser precisos, este último es un funtor contravariante , que puede considerarse como un funtor en la categoría opuesta de D ). Es decir, un triángulo exacto determina dos largas secuencias exactas de grupos abelianos:
y
Para categorías trianguladas particulares, estas secuencias exactas producen muchas de las secuencias exactas importantes en cohomología de gavillas, cohomología de grupo y otras áreas de las matemáticas.
También se puede usar la notación
para enteros i , generalizando el functor Ext en una categoría abeliana. En esta notación, la primera secuencia exacta anterior se escribiría:
Para una categoría abeliana A , otro ejemplo básico de un functor cohomológico en la categoría derivada D ( A ) envía una X compleja al objetoen A . Es decir, un triángulo exactoen D ( A ) determina una larga secuencia exacta en A :
usando eso .
Functores exactos y equivalencias
Un funtor exacto (también llamado functor triangulado ) de una categoría D triangulada a una categoría E triangulada es un funtor aditivoque, en términos generales, conmuta con la traducción y envía triángulos exactos a triángulos exactos. [dieciséis]
Más detalladamente, un funtor exacto viene con un isomorfismo natural. (donde el primero denota el functor de traslación de D y el segundodenota el functor de traducción de E ), de modo que siempre que
es un triángulo exacto en D ,
es un triángulo exacta en E .
Una equivalencia de categorías trianguladas es un functor exactoeso también es una equivalencia de categorías . En este caso, hay un functor exactode manera que FG y GF son naturalmente isomorfos a los respectivos functores de identidad.
Categorías trianguladas generadas de forma compacta
Sea D una categoría triangulada tal que en D existan sumas directas indexadas por un conjunto arbitrario (no necesariamente finito) . Un objeto X en D se llama compacto si el funtorconmuta con sumas directas. Explícitamente, esto significa que para cada familia de objetosen D indexado por un conjunto S , el homomorfismo natural de los grupos abelianoses un isomorfismo. Esto es diferente de la noción general de un objeto compacto en la teoría de categorías, que involucra a todos los colimits en lugar de solo a los coproductos.
Por ejemplo, un objeto compacto en la categoría de homotopía estable es un espectro finito. [17] Un objeto compacto en la categoría derivada de un anillo, o en la categoría derivada cuasi coherente de un esquema, es un complejo perfecto . En el caso de una variedad proyectiva suave X sobre un campo, la categoría Perf ( X ) de complejos perfectos también puede verse como la categoría derivada acotada de poleas coherentes,.
Una categoría D triangulada se genera de forma compacta si
- D tiene sumas directas arbitrarias (no necesariamente finitas);
- Hay un conjunto S de objetos compactos en D tal que por cada objeto X distinto de cero en D , hay un objeto Y en S con un mapa distinto de ceropara algún número entero n .
Muchas categorías trianguladas "grandes" de origen natural se generan de forma compacta:
- La categoría derivado de módulos sobre un anillo R se genera de forma compacta por un objeto, el R -módulo R .
- La categoría derivada cuasi-coherente de un esquema cuasi-compacto cuasi-separado es generada de forma compacta por un objeto. [18]
- La categoría de homotopía estable es generada de forma compacta por un objeto, el espectro de la esfera . [19]
Amnon Neeman generalizó el teorema de representabilidad de Brown a cualquier categoría triangulada generada de forma compacta, como sigue. [20] Sea D una categoría triangulada generada de forma compacta,un functor cohomológico que lleva coproductos a productos. Entonces H es representable. (Es decir, hay un objeto W de D tal quepara todo X. ) Para otra versión, sea D una categoría triangulada generada de forma compacta, T cualquier categoría triangulada. Si un functor exactoenvía coproductos a coproductos, luego F tiene un adjunto derecho .
El teorema de representabilidad de Brown se puede utilizar para definir varios functores entre categorías trianguladas. En particular, Neeman lo utilizó para simplificar y generalizar la construcción del excepcional functor de imagen inverso para un morfismo f de esquemas , la característica central de la dualidad coherente teoría. [21]
estructuras en t
Para cada categoría abeliana A , la categoría derivada D ( A ) es una categoría triangulada, que contiene A como una subcategoría completa (los complejos concentrados en grado cero). Diferentes categorías abelianas pueden tener categorías derivadas equivalentes, por lo que no siempre es posible reconstruir A a partir de D ( A ) como una categoría triangulada.
Alexander Beilinson , Joseph Bernstein y Pierre Deligne describieron esta situación mediante la noción de una estructura t en una categoría D triangulada . [22] Una estructura t en D determina una categoría abeliana dentro de D , y diferentes estructuras t en D pueden producir diferentes categorías abelianas.
Subcategorías de localización y gruesas
Sea D una categoría triangulada con sumas directas arbitrarias. Una subcategoría de localización de D es una subcategoría triangulada estrictamente completa que se cierra bajo sumas directas arbitrarias. [23] Para explicar el nombre: si una subcategoría de localización S de una categoría D triangulada generada de forma compacta es generada por un conjunto de objetos, entonces hay un functor de localización de Bousfieldcon el kernel S . [24] (Es decir, para cada objeto X en D hay un triángulo exactocon Y en S y LX en la ortogonal derecha .) Por ejemplo, esta construcción incluye la localización de un espectro en un número primo, o la restricción de un complejo de haces en un espacio a un subconjunto abierto.
Una noción paralela es más relevante para categorías trianguladas "pequeñas": una subcategoría gruesa de una categoría triangulada C es una subcategoría triangulada estrictamente completa que se cierra bajo sumandos directos. (Si C es idempotente-completo , una subcategoría es gruesa si y solo si también es idempotente-completo). Una subcategoría de localización es gruesa. [25] Entonces, si S es una subcategoría de localización de una categoría D triangulada , entonces la intersección de S con la subcategoría de objetos compactos es una subcategoría gruesa de .
Por ejemplo, Devinatz – Hopkins –Smith describió todas las subcategorías gruesas de la categoría triangulada de espectros finitos en términos de la teoría K de Morava . [26] No se han clasificado las subcategorías de localización de toda la categoría de homotopía estable.
Ver también
- Transformada de Fourier-Mukai
- Seis operaciones
- Gavilla perversa
- Módulo D
- Localización de Beilinson-Bernstein
- Espectro del módulo
- Descomposición semiortogonal
- Condición de estabilidad de Bridgeland
Notas
- ^ Marioneta (1962, 1967); Verdier (1963, 1967).
- ^ Weibel (1994), Definición 10.2.1.
- ^ J. Peter May, Los axiomas de las categorías trianguladas .
- ↑ a b Weibel (1994), Observación 10.2.2.
- ^ Weibel (1994), ejercicio 10.2.1.
- ^ Gelfand y Manin (2006), Ejercicio IV.1.1.
- ^ Kashiwara y Schapira (2006), Teorema 11.2.6.
- ^ Weibel (1994), Corolario 10.4.3.
- ^ Weibel (1994), sección 10.5.
- ^ Weibel (1994), Teorema 10.9.18.
- ^ a b Grothendieck. "Perseguir pilas" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
- ^ Toën (2007), Teorema 8.15.
- ^ Rizzardo et al. (2019), Teorema 1.4.
- ^ Dugger y Shipley (2009), Observación 4.9.
- ^ Weibel (1994), ejemplo 10.2.8.
- ^ Weibel (1994), Definición 10.2.6.
- ^ Neeman (2001), Observación D.1.5.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 09IS, Proyecto de pilas, etiqueta 09M1.
- ^ Neeman (2001), Lema D.1.3.
- ^ Neeman (1996), Teoremas 3.1 y 4.1.
- ^ Neeman (1996), ejemplo 4.2.
- ^ Beilinson y col. (1982), Definición 1.3.1.
- ^ Neeman (2001), Introducción, después de la observación 1.4.
- ^ Krause (2010), Teorema, Introducción.
- ^ Neeman (2001), Observación 3.2.7.
- ^ Ravenel (1992), Teorema 3.4.3.
Referencias
Algunas introducciones de libros de texto a categorías trianguladas son:
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- Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der Mathischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076
- Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. Señor 1269324 . OCLC 36131259 .
Un resumen conciso con aplicaciones es:
- Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), "Capítulo I. Álgebra homológica", Gavillas sobre variedades , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-02661-8 , ISBN 978-3540518617, MR 1074006
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enlaces externos
- J. Peter May , Los axiomas de las categorías trianguladas
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks