Cohomología de De Rham
En matemáticas , la cohomología de de Rham (llamada así por Georges de Rham ) es una herramienta que pertenece tanto a la topología algebraica como a la topología diferencial , capaz de expresar información topológica básica sobre variedades suaves en una forma particularmente adaptada a la computación y la representación concreta de clases de cohomología . Es una teoría de cohomología basada en la existencia de formas diferenciales con propiedades prescritas.
Toda forma exacta es cerrada, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Por otro lado, existe una relación entre falta de exactitud y existencia de "agujeros". Los grupos de cohomología de De Rham son un conjunto de invariantes de variedades suaves que hacen que la relación antes mencionada sea cuantitativa, [1] y se discutirán en este artículo.
El complejo de Rham es el complejo cocadena de formas diferenciales en alguna variedad suave M , con la derivada exterior como diferencial:
donde Ω 0 ( M ) es el espacio de funciones suaves en M , Ω 1 ( M ) es el espacio de 1 formas, y así sucesivamente. Las formas que son la imagen de otras formas bajo la derivada exterior , más la función constante 0 en Ω 0 ( M ) , se llaman exactas y las formas cuya derivada exterior es 0 se llaman cerradas (ver Formas diferenciales cerradas y exactas ); la relacion d 2= 0 luego dice que las formas exactas están cerradas.
Por el contrario, las formas cerradas no son necesariamente exactas. Un caso ilustrativo es un círculo como una variedad, y la forma 1 correspondiente a la derivada del ángulo desde un punto de referencia en su centro, típicamente escrito como dθ (descrito en Formas diferenciales cerradas y exactas ). No hay una función θ definida en todo el círculo tal que dθ sea su derivada; el aumento de 2 π al dar una vuelta al círculo en sentido positivo implica una función multivaluada θ . Eliminar un punto del círculo evita esto, al mismo tiempo que cambia la topología de la variedad.
Un ejemplo destacado cuando todas las formas cerradas son exactas es cuando el espacio subyacente se puede contraer hasta un punto, es decir, es un dominio en forma de estrella (condición sin agujeros). En este caso la derivada exterior restringida a formas cerradas tiene un inverso local llamado operador de homotopía . [3] [4] Dado que también es nilpotente , [3] entonces en este caso forma un complejo de doble cadena con flechas invertidas [5] en comparación con el complejo de Rham. Esta es la situación descrita en el lema de Poincaré .
