En matemáticas , específicamente en la teoría de la homología y la topología algebraica , la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos asociados con un espacio topológico , a menudo definido a partir de un complejo cocadena . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología. Algunas versiones de cohomología surgen al dualizar la construcción de homología. En otras palabras, las cochains son funciones en el grupo de cadenas en la teoría de la homología.
Desde sus inicios en la topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método de construcción de invariantes algebraicos de espacios topológicos, la gama de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido a lo largo de la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: espacios dados X e Y , y algún tipo de función F en Y, Para cualquier mapeo f : X → Y , la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X . Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de copa , que les da una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser una invariante más fuerte que la homología.
La cohomología singular es una poderosa invariante en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado con cualquier espacio topológico. Todo mapa continuo f : X → Y determina un homomorfismo del anillo de cohomología de Y al de X ; Esto pone restricciones fuertes sobre los posibles mapas de X a Y . A diferencia de invariantes más sutiles como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para espacios de interés.
Para un espacio topológico X , la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : [1]
Por definición, la homología singular de X es la homología de este complejo de cadena (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior). En más detalle, C i es el grupo abeliano libre en el conjunto de mapas continuos desde el estándar i -simplex a X (llamado "singular i -simplices en X "), y ∂ i es el i- ésimo homomorfismo de límite. Los grupos C i son cero para i negativo.
Ahora fije un grupo abeliano A y reemplace cada grupo C i por su grupo dual y por su homomorfismo dual
Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cocadena
Para un entero i , el i- ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en A se define como ker ( d i ) / im ( d i −1 ) y se denota por H i ( X , A ). El grupo H i ( X , A ) es cero para i negativo. Los elementos de se llaman singular i -cochains con coeficientes en A . (De manera equivalente, una i- cochain en Xpueden identificarse con una función del conjunto de i -simplices singulares en X a A. ) Los elementos de ker ( d ) e im ( d ) se denominan cociclos y co - límites , respectivamente, mientras que los elementos de ker ( d ) / im ( d) ) = H i ( X , A ) se denominan clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de ciclos).
En lo que sigue, el grupo de coeficientes A a veces no se escribe. Es común tomar A como un anillo conmutativo R ; a continuación, los grupos de cohomología son R - módulos . Una opción estándar es el anillo Z de números enteros .
Algunas de las propiedades formales de la cohomología son solo variantes menores de las propiedades de la homología:
Por otro lado, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico X y anillo conmutativo R , existe un mapa bilineal , llamado producto de copa :
definido por una fórmula explícita en monedas singulares. El producto de las clases de cohomología u y v se escribe como u ∪ V o simplemente como UV . Este producto hace la suma directa
en un anillo graduado , llamado el anillo de cohomología de X . Es graduado-conmutativo en el sentido de que: [4]
Para cualquier aplicación continua de la retirada es un homomorfismo de graduadas R - álgebra . De ello se deduce que si dos espacios son homotopía equivalentes , entonces sus anillos de cohomología son isomorfos.
Estas son algunas de las interpretaciones geométricas del producto de taza. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen límite, a menos que se indique lo contrario. Un colector cerrado significa un colector compacto (sin límite), mientras que un sub colector cerrado N de un colector M significa un subconjunto que es un subconjunto cerrado de M , no necesariamente compacto (aunque N es automáticamente compacto si M lo es).
Muy informal, para cualquier espacio topológico X , elementos de pueden ser considerados como la representada por codimension- i subespacios de X que se pueden mover libremente en X . Por ejemplo, una forma de definir un elemento de es dar un mapa continuo f desde X a una variedad M y una codimensión cerrada - i subvariedades N de M con una orientación en el paquete normal. De manera informal, uno piensa que la clase resultante se encuentra en el subespacio de X ; esto se justifica porque la claserestringe a cero en el cohomology del subconjunto abierto La clase cohomology se puede mover libremente en X en el sentido de que N podría ser sustituido por cualquier deformación continua de N dentro M .
En lo que sigue, la cohomología se toma con coeficientes en los números enteros Z , a menos que se indique lo contrario.
El producto de copa en cohomología puede verse como proveniente del mapa diagonal Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Es decir, para cualquier espacio X e Y con clases de cohomología u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( Y , R ), existe una clase de cohomología de producto externo (o producto cruzado ) u × v ∈ Hi + j ( X × Y , R ). El producto de taza de las clases u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( X , R ) se puede definir como el retroceso del producto externo por la diagonal: [12]
Alternativamente, el producto externo se puede definir en términos del producto de taza. Para los espacios X e Y , escriba f : X × Y → X y g : X × Y → Y para las dos proyecciones. Entonces el producto externo de las clases u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( Y , R ) es:
Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es auto-dual en un sentido fuerte. Es decir, sea X una variedad orientada conectada cerrada de dimensión n , y sea F un campo. Entonces H n ( X , F ) es isomorfo a F , y el producto
es un emparejamiento perfecto para cada entero i . [13] En particular, los espacios vectoriales H i ( X , F ) y H n - i ( X , F ) tienen la misma dimensión (finita). Del mismo modo, el producto en cohomology integral módulo de torsión con valores en H n ( X , Z ) ≅ Z es un emparejamiento perfecto sobre Z .
Un conjunto de vectores reales orientados E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología en X , la clase de Euler χ ( E ) ∈ H r ( X , Z ). De manera informal, la clase de Euler es la clase de la puesta a cero de un general la sección de E . Esa interpretación se puede hacer más explícita cuando E es un conjunto de vectores suaves sobre una variedad suave X , ya que entonces una sección suave general de X desaparece en una subvarietal codimensión r de X.
Hay varios otros tipos de clases de características para paquetes de vectores que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern , las clases de Stiefel-Whitney y las clases de Pontryagin .
Para cada grupo abeliano A y número natural j , hay un espacio cuyo j -ésimo grupo de homotopía es isomorfo a A y cuyos otros grupos de homotopía son cero. Dicho espacio se denomina espacio de Eilenberg-MacLane . Este espacio tiene la propiedad notable de que es un espacio de clasificación para la cohomología: hay un elemento natural u de , y cada clase de cohomología de grado j en cada espacio X es el retroceso de u por algún mapa continuo . Más precisamente, retirar la clase u da una biyección
para cada espacio X con el tipo de homotopía de un complejo CW. [14] Aquí denota el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X a Y .
Por ejemplo, el espacio (definido hasta la equivalencia de homotopía) puede tomarse como el círculo . Entonces, la descripción anterior dice que cada elemento de es retirado de la clase u de un punto en algún mapa .
Existe una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A , digamos para un complejo X de CW . Es decir, está en correspondencia uno-a-uno con el conjunto de clases de isomorfismo de Galois cubren espacios de X con el grupo A , también llamado director A -bundles sobre X . Para X conectada, se deduce que es isomorfo , en donde es el grupo fundamental de X . Por ejemplo, clasifica los espacios de doble cobertura de X , con el elementocorrespondiente a la doble cubierta trivial, la unión disjunta de dos copias de X .
Para cualquier espacio topológico X , el producto cap es un mapa bilineal
para cualquier números enteros i y j y cualquier anillo conmutativo R . El mapa resultante
hace que la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X .
Para i = j , el producto cap da el homomorfismo natural
que es un isomorfismo para el campo R a.
Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces, una codimensión orientada cerrada- i subvariedades Y de X (no necesariamente compacta) determina un elemento de H i ( X , R ), y una subvariedad compacta orientada j -dimensional Z de X determina un elemento de H j ( X , R ) . El producto de capitalización [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H j - i ( X , R) se puede calcular perturbando Y y Z para que se intersequen transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad compacta orientada de dimensión j - i .
Una variedad X de orientación cerrada de dimensión n tiene una clase fundamental [ X ] en H n ( X , R ). El isomorfismo de la dualidad de Poincaré
se define por producto tapa con la clase fundamental de X .
Aunque la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se vio durante unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual , que Henri Poincaré usó en su demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el germen de la idea de cohomología, pero esto no se vio hasta más tarde.
Hubo varios precursores de la cohomología. [15] A mediados de la década de 1920, JW Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de la intersección de ciclos en variedades. En una variedad n- dimensional de orientación cerrada M , un ciclo i y un ciclo j con intersección no vacía tendrán, si están en posición general , una intersección con un ciclo ( i + j - n ). Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.
que en retrospectiva se puede identificar con el producto taza sobre la cohomología de M .
Alexander ya había definido en 1930 una primera noción de cochain, al pensar en una i- cochain en un espacio X como una función en pequeños vecindarios de la diagonal en X i +1 .
En 1931, Georges de Rham relacionó la homología y las formas diferenciales, demostrando el teorema de De Rham. Este resultado puede expresarse de forma más sencilla en términos de cohomología.
En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de la dualidad de Pontryagin ; un resultado en grupos topológicos . Esto (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y la dualidad de Alexander en términos de caracteres grupales .
En una conferencia de 1935 en Moscú , Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología e intentaron construir una estructura de productos de cohomología.
En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología Čech dualizando la homología Čech.
De 1936 a 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto de copa (convirtiendo la cohomología en un anillo graduado) y el producto de tapón, y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré puede expresarse en términos del producto de tapón. Su teoría todavía se limitaba a complejos de células finitas.
En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología y cohomología singulares.
En 1945, Eilenberg y Steenrod establecieron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, que se analizan a continuación. En su libro de 1952, Fundamentos de la topología algebraica , demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes satisfacían sus axiomas.
En 1946, Jean Leray definió la cohomología de la gavilla.
En 1948, Edwin Spanier , basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología Alexander-Spanier .
La cohomología de la gavilla es una rica generalización de la cohomología singular, que permite "coeficientes" más generales que simplemente un grupo abeliano. Por cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X , se tienen grupos de cohomología H i ( X , E ) para enteros i . En particular, en el caso de la gavilla constante en X asociada con un grupo abeliano A , los grupos resultantes H i ( X , A ) coinciden con la cohomología singular para Xun complejo múltiple o CW (aunque no para espacios arbitrarios X ). A partir de la década de 1950, la cohomología de gavillas se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo , en parte debido a la importancia de la gavilla de funciones regulares o la gavilla de funciones holomórficas .
Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de gavillas en el lenguaje del álgebra homológica . El punto esencial es fijar el espacio X y pensar en la cohomología de gavillas como un funtor de la categoría abeliana de gavillas en X a grupos abelianos. Comience con el funtor llevando un haz E sobre X a su grupo abeliano de secciones globales sobre X , E ( X ). Este functor es exacto a la izquierda , pero no necesariamente exacto a la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de gavilla como los functores derivados de la derecha del functor exacto izquierdo E ↦E ( X ). [dieciséis]
Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, se puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces , antes llamado hipercohomología (pero normalmente ahora sólo "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de gavillas se convierte en una secuencia de functores de la categoría derivada de gavillas en X a grupos abelianos.
En un sentido amplio de la palabra, "cohomología" se usa a menudo para los functores derivados de la derecha de un funtor exacto izquierdo en una categoría abeliana, mientras que "homología" se usa para los functores derivados de la izquierda de un functor exacto derecho. Por ejemplo, para un anillo R , los grupos Tor Tor i R ( M , N ) forman una "teoría de homología" en cada variable, los functores derivados de la izquierda del producto tensorial M ⊗ R N de R -módulos. Asimismo, los grupos Ext Ext i R ( M , N) se puede ver como una "teoría de cohomología" en cada variable, los functores derivados de la derecha del functor Hom R ( M , N ).
La cohomología de la gavilla se puede identificar con un tipo de grupo ext. Es decir, para una gavilla E en un espacio topológico X , H i ( X , E ) es isomorfo a Ext i ( Z X , E ), donde Z X denota la gavilla constante asociada con los enteros Z , y Ext se toma en el categoría abeliana de poleas en X .
Existen numerosas máquinas construidas para calcular la cohomología de variedades algebraicas. El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas suaves sobre un campo de características . Las herramientas de la teoría de Hodge, llamadas estructuras de Hodge, ayudan a realizar cálculos de cohomología de este tipo de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple, la cohomología de una hipersuperficie lisa en puede determinarse a partir del grado del polinomio solo.
Cuando se consideran variedades sobre un campo finito, o un campo de características , se requieren herramientas más poderosas porque las definiciones clásicas de homología / cohomología se rompen. Esto se debe a que las variedades sobre campos finitos solo serán un conjunto finito de puntos. A Grothendieck se le ocurrió la idea de una topología de Grothendieck y utilizó la cohomología de gavilla sobre la topología etale para definir la teoría de la cohomología para variedades en un campo finito. Utilizando la topología étale para una variedad en un campo de características se puede construir una cohomología -ádica . Esto se define como
Si tenemos un esquema de tipo finito
entonces hay una igualdad de dimensiones para la cohomología de Betti y la cohomología -ádica de siempre que la variedad sea uniforme en ambos campos. Además de estas teorías de cohomología, existen otras teorías de cohomología llamadas teorías de cohomología de Weil que se comportan de manera similar a la cohomología singular. Existe una teoría conjeturada de los motivos que subyace a todas las teorías de cohomología de Weil.
Otra herramienta computacional útil es la secuencia de expansión. Dado un subesquema de codimensión hay un cuadrado cartesiano
A partir de esto hay una secuencia exacta larga asociada
Si la subvariedad es suave, entonces los morfismos de conexión son todos triviales, por lo tanto
Hay varias maneras de definir cohomología de los espacios topológicos (como la cohomología singular, cohomología Čech , cohomología Alexander-Spanier o cohomología gavilla ). (Aquí la cohomología de gavillas se considera solo con coeficientes en una gavilla constante.) Estas teorías dan diferentes respuestas para algunos espacios, pero hay una gran clase de espacios en los que todos concuerdan. Esto se comprende más fácilmente axiomáticamente: existe una lista de propiedades conocida como axiomas de Eilenberg-Steenrod , y dos construcciones cualesquiera que compartan esas propiedades concordarán al menos en todos los complejos CW. [17]Existen versiones de los axiomas para una teoría de homología así como para una teoría de cohomología. Algunas teorías pueden verse como herramientas para calcular la cohomología singular para espacios topológicos especiales, como la cohomología simplicial para complejos simpliciales , la cohomología celular para complejos CW y la cohomología de De Rham para variedades suaves.
Uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para una teoría de cohomología es el axioma de dimensión : si P es un solo punto, entonces H i ( P ) = 0 para todo i ≠ 0. Alrededor de 1960, George W. Whitehead observó que es fructífero omitir completamente el axioma de la dimensión: esto da la noción de una teoría de homología generalizada o una teoría de cohomología generalizada, definida a continuación. Existen teorías de cohomología generalizadas como la teoría K o el cobordismo complejo que brindan información rica sobre un espacio topológico, no directamente accesible desde la cohomología singular. (En este contexto, la cohomología singular a menudo se denomina "cohomología ordinaria").
Por definición, una teoría de homología generalizada es una secuencia de functores h i (para enteros i ) desde la categoría de pares CW- ( X , A ) (por lo que X es un complejo CW y A es un subcomplejo) a la categoría de grupos abelianos , junto con una transformación natural ∂ i : h i ( X , A ) → h i −1 ( A ) llamado homomorfismo de frontera (aquí h i−1 ( A ) es una abreviatura de h i −1 ( A , ∅)). Los axiomas son:
Los axiomas de una teoría de la cohomología generalizada se obtienen invirtiendo las flechas, en términos generales. Más detalladamente, una teoría de cohomología generalizada es una secuencia de functores contravariantes h i (para enteros i ) de la categoría de pares CW a la categoría de grupos abelianos, junto con una transformación natural d : h i ( A ) → h i +1 ( X , A ) llamó homomorfismo de límite (escribiendo h i ( A ) para h i ( A, ∅)). Los axiomas son:
Un espectro determina tanto una teoría de homología generalizada como una teoría de cohomología generalizada. Un resultado fundamental de Brown, Whitehead y Adams dice que toda teoría de homología generalizada proviene de un espectro, y del mismo modo, toda teoría de cohomología generalizada proviene de un espectro. [18] Esto generaliza la representabilidad de la cohomología ordinaria por espacios de Eilenberg-MacLane.
Un punto sutil es que el functor de la categoría de homotopía estable (la categoría de espectros de homotopía) a las teorías de homología generalizada sobre pares CW no es una equivalencia, aunque da una biyección sobre clases de isomorfismo; hay mapas distintos de cero en la categoría de homotopía estable (llamados mapas fantasmas ) que inducen el mapa cero entre las teorías de homología en pares CW. Asimismo, el functor de la categoría de homotopía estable a las teorías de cohomología generalizada sobre pares CW no es una equivalencia. [19] Es la categoría de homotopía estable, no estas otras categorías, la que tiene buenas propiedades como ser triangulada .
Si uno prefiere que las teorías de homología o cohomología se definan en todos los espacios topológicos en lugar de en complejos CW, un enfoque estándar es incluir el axioma de que toda equivalencia de homotopía débil induce un isomorfismo en la homología o cohomología. (Eso es cierto para la homología singular o la cohomología singular, pero no para la cohomología de gavilla, por ejemplo.) Dado que cada espacio admite una equivalencia de homotopía débil de un complejo CW, este axioma reduce las teorías de homología o cohomología en todos los espacios a la teoría correspondiente en CW complejos. [20]
Algunos ejemplos de teorías de cohomología generalizadas son:
Muchas de estas teorías contienen información más rica que la cohomología ordinaria, pero son más difíciles de calcular.
Una teoría cohomology E se dice que es multiplicativo si tiene la estructura de un anillo graduado para cada espacio X . En el lenguaje de los espectros, hay varias nociones más precisas de un espectro de anillo , como un espectro de anillo E ∞ , donde el producto es conmutativo y asociativo en un sentido fuerte.
Las teorías de cohomología en un sentido más amplio (invariantes de otras estructuras algebraicas o geométricas, en lugar de espacios topológicos) incluyen: