En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ), y una forma exacta es una forma diferencial, α , que es la derivada exterior de otra forma diferencial β . Por tanto, una forma exacta está en la imagen de d , y una forma cerrada está en el núcleo de d .
Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que la de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" para α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la adición de cualquier forma cerrada de grado uno menor que la de α .
Como d 2 = 0 , toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si cada forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contráctil , cada forma cerrada es exacta por el lema de Poincaré . Preguntas más generales de este tipo sobre una variedad diferenciable arbitraria son el tema de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.
Ejemplos de
Un ejemplo simple de una forma que es cerrada pero no exacta es la forma 1 [nota 1] dada por la derivada del argumento en el plano perforado . Desde no es en realidad una función (ver el párrafo siguiente) no es una forma exacta. Todavía, tiene derivada evanescente y por lo tanto está cerrada.
Tenga en cuenta que el argumento solo se define hasta un múltiplo entero de desde un solo punto se le pueden asignar diferentes argumentos , , etc. Podemos asignar argumentos de una manera localmente consistente alrededor, pero no de una manera globalmente consistente. Esto se debe a que si trazamos un bucle desde en sentido antihorario alrededor del origen y de regreso a , el argumento aumenta en. Generalmente, el argumento cambios por
sobre un bucle orientado en sentido antihorario .
Aunque el argumento técnicamente no es una función, las diferentes definiciones locales de en un punto difieren entre sí por constantes. Dado que la derivada ensolo usa datos locales, y dado que las funciones que se diferencian por una constante tienen la misma derivada, el argumento tiene una derivada globalmente bien definida "". [nota 2]
El resultado es que es una forma única en que en realidad no es la derivada de ninguna función bien definida . Nosotros decimos esono es exacto . Explícitamente, se da como:
que por inspección tiene derivada cero. Porquetiene derivada que se desvanece, decimos que está cerrado .
Este formulario genera el grupo de cohomología de De Rham lo que significa que cualquier forma cerrada es la suma de una forma exacta y un múltiplo de : , dondeexplica una integral de contorno no trivial alrededor del origen, que es la única obstrucción a una forma cerrada en el plano perforado (localmente la derivada de una función potencial ) que es la derivada de una función definida globalmente.
Ejemplos en dimensiones reducidas
Las formas diferenciales en R 2 y R 3 eran bien conocidas en la física matemática del siglo XIX. En el plano, las formas 0 son solo funciones y las formas 2 son funciones multiplicadas por el elemento de área básico dx ∧ dy , de modo que son las formas 1
que son de verdadero interés. La fórmula para la derivada exterior d aquí es
donde los subíndices denotan derivadas parciales . Por lo tanto, la condición paraestar cerrado es
En este caso, si h ( x , y ) es una función, entonces
La implicación de 'exacta' a 'cerrada' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas , con respecto a x e y .
El teorema del gradiente afirma que una forma 1 es exacta si y solo si la integral de línea de la forma depende solo de los puntos finales de la curva, o de manera equivalente, si la integral alrededor de cualquier curva cerrada suave es cero.
Analogías de campos vectoriales
En una variedad de Riemann , o más generalmente en una variedad pseudo-Riemanniana , las formas k corresponden a los campos de k- vectores (por dualidad a través de la métrica ), por lo que existe la noción de un campo vectorial que corresponde a una forma cerrada o exacta.
En 3 dimensiones, un campo vectorial exacto (considerado como una forma 1) se denomina campo vectorial conservador , lo que significa que es la derivada ( gradiente ) de una forma 0 (campo escalar suave), llamado potencial escalar . Un campo vectorial cerrado (considerado como una forma 1) es aquel cuya derivada ( rizo ) desaparece y se denomina campo vectorial irrotacional .
En cambio, si se piensa en un campo vectorial como una forma 2, un campo vectorial cerrado es aquel cuya derivada ( divergencia ) desaparece y se denomina flujo incompresible (a veces, campo vectorial solenoidal ). El término incompresible se utiliza porque una divergencia distinta de cero corresponde a la presencia de fuentes y sumideros en analogía con un fluido.
Los conceptos de campos vectoriales conservadores e incompresibles se generalizan en n dimensiones, porque el gradiente y la divergencia se generalizan en n dimensiones; curl se define solo en tres dimensiones, por lo que el concepto de campo vectorial irrotacional no se generaliza de esta manera.
Lema de Poincaré
El Poincaré lema establece que si B es una bola abierta en R n , cualquier suavizar cerrado p -form ω definido en B es exacto, para cualquier número entero p con 1 ≤ p ≤ n . [1]
Traduciendo si es necesario, se puede suponer que la bola B tiene el centro 0. Sea α s el flujo en R n definido por α s x = e - s x . Para s ≥ 0 lleva a B en sí mismo e induce una acción sobre funciones y formas diferenciales. La derivada del flujo es el campo vectorial X definido en las funciones f por Xf = d ( α s f ) / ds | s = 0 : es el campo vectorial radial - r ∂/∂ r= −∑ x yo∂/∂ x i. La derivada del flujo de formas define la derivada de Lie con respecto a X dada por. En particular
Ahora define
Por el teorema fundamental del cálculo tenemos que
Con siendo la multiplicación o contracción interior por el campo vectorial X , la fórmula de Cartan establece que [2]
Usando el hecho de que d conmuta con L X ,y h , obtenemos:
Configuración
conduce a la identidad
Ahora se deduce que si ω es cerrado, es decir, dω = 0 , entonces d ( g ω ) = ω , de modo que ω es exacto y se demuestra el lema de Poincaré.
(En el lenguaje del álgebra homológica , g es una "homotopía en contracción".)
El mismo método se aplica a cualquier conjunto abierto en R n que tenga forma de estrella alrededor de 0, es decir, cualquier conjunto abierto que contenga 0 e invariante bajo α t para.
Otra prueba estándar del lema de Poincaré usa la fórmula de invariancia de homotopía y se puede encontrar en Singer & Thorpe (1976 , pp. 128-132), Lee (2012) , Tu (2011) y Bott & Tu (1982) . [3] [4] [5] La forma local del operador de homotopía se describe en Edelen (2005) y la conexión del lema con la forma de Maurer-Cartan se explica en Sharpe (1997) . [6] [7]
Esta formulación puede expresarse en términos de homotopías entre dominios abiertos U en R m y V en R n . [8] Si F ( t , x ) es una homotopía de [0,1] × U a V , establezca F t ( x ) = F ( t , x ). Parauna forma p en V , definir
Luego
Ejemplo : En dos dimensiones, el lema de Poincaré se puede probar directamente para formas 1 y formas 2 cerradas de la siguiente manera. [9]
Si ω = p dx + q dy es una forma 1 cerrada en ( a , b ) × ( c , d ) , entonces p y = q x . Si ω = df entonces p = f x y q = f y . Colocar
de modo que g x = p . Entonces h = f - g debe satisfacer h x = 0 y h y = q - g y . El lado derecho aquí es independiente de x ya que su derivada parcial con respecto a x es 0. Entonces
y por lo tanto
De manera similar, si Ω = r dx ∧ dy entonces Ω = d ( a dx + b dy ) con b x - a y = r . Por tanto, una solución viene dada por a = 0 y
Formulación como cohomología
Cuando la diferencia de dos formas cerradas es una forma exacta, se dice que son cohomólogas entre sí. Es decir, si ζ y η son formas cerradas, y se puede encontrar alguna β tal que
entonces se dice que ζ y η son cohomólogos entre sí. A veces se dice que las formas exactas son cohomólogas a cero . El conjunto de todas las formas cohomólogas a una forma dada (y por lo tanto entre sí) se denomina clase de cohomología de De Rham ; el estudio general de tales clases se conoce como cohomología . No tiene sentido preguntar si una forma 0 (función suave) es exacta, ya que d aumenta el grado en 1; pero las pistas de la topología sugieren que sólo la función cero debería llamarse "exacta". Las clases de cohomología se identifican con funciones locales constantes .
Utilizando homotopías de contratación similares a las utilizadas en la prueba del lema de Poincaré, se puede demostrar que la cohomología de De Rham es invariante en homotopía. [10]
Aplicación en electrodinámica
En electrodinámica, el caso del campo magnético producido por una corriente eléctrica estacionaria es importante. Allí se trata del potencial vectorial de este campo. Este caso corresponde a k = 2 , y la región definitoria es la. El vector de densidad de corriente es. Corresponde a las dos formas actuales
Para el campo magnético uno tiene resultados análogos: corresponde a la inducción de dos formas , y puede derivarse del potencial vectorial, o el correspondiente de una forma ,
Por lo tanto, el potencial vectorial corresponde al potencial de una forma
El carácter cerrado de las dos formas de inducción magnética corresponde a la propiedad del campo magnético de que no tiene fuente: , es decir, que no hay monopolos magnéticos .
En un calibre especial, , esto implica para i = 1, 2, 3
(Aquí es una constante, la permeabilidad magnética al vacío.)
Esta ecuación es notable, porque corresponde completamente a una fórmula bien conocida para el campo eléctrico., a saber, para el potencial de Coulomb electrostático de una densidad de carga . En este lugar ya se puede adivinar que
- y
- y
- y
se puede unificar en cantidades con seis rsp. cuatro componentes no triviales, que es la base de la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell .
Si se deja la condición de estacionariedad, en el lado izquierdo de la ecuación antes mencionada se debe sumar, en las ecuaciones para , a las tres coordenadas espaciales, como cuarta variable también el tiempo t , mientras que en el lado derecho, en, el llamado "tiempo retrasado",, debe usarse, es decir, se agrega al argumento de la densidad de corriente. Finalmente, como antes, se integra sobre las tres coordenadas espaciales primarias. (Como es habitual, c es la velocidad de vacío de la luz).
Notas
- ^ Esto es un abuso de notación. El argumento no es una función bien definida, y no es el diferencial de ninguna forma cero. La discusión que sigue profundiza en esto.
- ^ El artículo que cubre los espacios tiene más información sobre las matemáticas de funciones que solo están bien definidas localmente.
Notas al pie
- ^ Warner 1983 , págs. 155-156
- ^ Warner 1983 , págs. 69-72
- ^ Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC 808682771 .
- ^ Tu, Loring W. (2011). Una introducción a las variedades (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC 682907530 .
- ^ Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. 82 . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3951-0 . ISBN 978-1-4419-2815-3.
- ^ Edelen, Dominic GB (2005). Cálculo exterior aplicado (Rev ed.). Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43871-6. OCLC 56347718 .
- ^ Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. OCLC 34356972 .
- ^ Warner 1983 , págs.157, 160
- ^ Napier y Ramachandran 2011 , págs. 443-444
- ^ Warner 1983 , p. 162-207
Referencias
- Flanders, Harley (1989) [1963]. Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66169-8..
- Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
- Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Introducción a las superficies de Riemann , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
- Cantante, MI ; Thorpe, JA (1976), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry , University of Bangalore Press, ISBN 0721114784