Formas diferenciales cerradas y exactas

En matemáticas , especialmente en cálculo vectorial y topología diferencial , una forma cerrada es una forma diferencial α cuya derivada exterior es cero ( dα = 0 ), y una forma exacta es una forma diferencial, α , que es la derivada exterior de otra forma diferencial β . Así, una forma exacta está en la imagen de d y una forma cerrada está en el núcleo de d .

Para una forma exacta α , α = dβ para alguna forma diferencial β de grado uno menor que la de α . La forma β se denomina "forma potencial" o "primitiva" de α . Dado que la derivada exterior de una forma cerrada es cero, β no es única, pero puede modificarse mediante la suma de cualquier forma cerrada de grado uno menor que la de α .

Como d ² = 0 , toda forma exacta es necesariamente cerrada. La cuestión de si toda forma cerrada es exacta depende de la topología del dominio de interés. En un dominio contráctil , toda forma cerrada es exacta por el lema de Poincaré . Preguntas más generales de este tipo sobre una variedad diferenciable arbitraria son el tema de la cohomología de De Rham , que permite obtener información puramente topológica utilizando métodos diferenciales.

Un ejemplo simple de una forma que es cerrada pero no exacta es la forma 1 ^{[nota 1]} dada por la derivada del argumento en el plano perforado . Dado que en realidad no es una función (ver el siguiente párrafo) , no es una forma exacta. Aún así, tiene un derivado que se desvanece y, por lo tanto, está cerrado.${\ estilo de visualización d \ theta}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\setminus\{0\}}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización d \ theta}$${\ estilo de visualización d \ theta}$

Tenga en cuenta que el argumento solo se define hasta un múltiplo entero de , ya que a un solo punto se le pueden asignar diferentes argumentos , , etc. Podemos asignar argumentos de manera localmente consistente alrededor de , pero no de manera globalmente consistente. Esto se debe a que si trazamos un bucle desde el sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen y de vuelta a , el argumento aumenta en . En general, el argumento cambia por${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización 2 \ pi}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización r}$ ${\ estilo de visualización r+2 \ pi}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización 2 \ pi}$${\ estilo de visualización \ theta}$

sobre un bucle orientado en sentido contrario a las agujas del reloj .${\ estilo de visualización S^{1}}$

Campo vectorial correspondiente a dθ .