Conjetura de Hopf

En matemáticas, la conjetura de Hopf puede referirse a uno de varios enunciados conjeturales de geometría diferencial y topología atribuidos a Heinz Hopf .

Variedades de Riemann curvadas positiva o negativamente

La conjetura de Hopf es un problema abierto en la geometría riemanniana global. Se remonta a las preguntas de Heinz Hopf de 1931. Una formulación moderna es:

Una variedad Riemanniana compacta y uniforme con curvatura de sección positiva tiene la característica de Euler positiva . Una variedad compacta de Riemann (2 d ) dimensional con curvatura de sección negativa tiene la característica de signo de Euler .${\displaystyle (-1)^{d}}$

Para las superficies , estas afirmaciones se derivan del teorema de Gauss-Bonnet . Para las variedades de cuatro dimensiones , esto se sigue de la finitud del grupo fundamental y la dualidad de Poincaré y la fórmula de Euler-Poincaré que equipara para las variedades de 4 la característica de Euler y el teorema de Synge , asegurando que la cobertura de orientación está simplemente conectada, de modo que los números de Betti desaparecer . Para 4 variedades, el enunciado también se sigue del teorema de Chern-Gauss-Bonnet como lo notó John Milnor en 1955 (escrito por${\displaystyle b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}}$${\displaystyle b_{1}=b_{3}=0}$Shiing-Shen Chern en 1955. ^[1] ). Para variedades de dimensión 6 o superior, la conjetura es abierta. Un ejemplo de Robert Geroch había demostrado que el integrando de Chern-Gauss-Bonnet puede volverse negativo para . ^[2] Sin embargo, se sabe que el caso de curvatura positiva es válido para hipersuperficies en (Hopf) o codimensión dos superficies incrustadas en . ^[3] Para variedades de curvatura positiva suficientemente pellizcadas, la conjetura de Hopf (en el caso de curvatura positiva) se sigue del teorema de la esfera${\displaystyle d>2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+2}}$, un teorema que también había sido conjeturado primero por Hopf. Una de las líneas de ataque es buscar variedades con más simetría. Es particular, por ejemplo, que todas las variedades conocidas de curvatura de sección positiva permiten una acción de círculo isométrico. El campo vectorial correspondiente se denomina campo vectorial mortal . La conjetura (para el caso de curvatura positiva) también ha sido probada para variedades de dimensión o admitiendo una acción de toro isométrica de un toro de dimensión k y para variedades M admitiendo una acción isométrica de un grupo de Lie compacto G con subgrupo de isotropía principal H y cohomogeneidad k tal que${\displaystyle 4k+2}$${\displaystyle 4k+4}$ ${\displaystyle k-(\operatorname {rank} G-\operatorname {rank} H)\leq 5.}$Algunas referencias sobre variedades con cierta simetría son ^[4] y ^[5]

Sobre la historia del problema: la primera aparición explícita escrita de la conjetura se encuentra en las actas de la Sociedad Matemática Alemana , ^[6] que es un artículo basado en charlas que Heinz Hopf dio en la primavera de 1931 en Friburgo , Suiza y en Bad Elster en el otoño de 1931. Marcel Berger analiza la conjetura en su libro, ^[7] y señala el trabajo de Hopf de la década de 1920 que estuvo influenciado por este tipo de preguntas. Las conjeturas se enumeran como problema 8 (caso de curvatura positiva) y 10 (caso de curvatura negativa) en "Problemas de Yau" de 1982. ^[8]

Variedades de Riemann de curvatura no positiva o negativa

Hay conjeturas analógicas si se permite que la curvatura también sea cero. La declaración aún debería atribuirse a Hopf (por ejemplo, en una charla dada en 1953 en Italia). ^[9]

Una variedad Riemanniana compacta y uniforme con curvatura de sección no negativa tiene una característica de Euler no negativa . Una variedad compacta de Riemann (2d) dimensional con curvatura de sección no positiva tiene la característica de Euler de signo o cero.${\displaystyle (-1)^{d}}$

Esta versión se expresó como Pregunta 1 en el artículo ^[10] o luego en un artículo de Chern. ^[11]

Un ejemplo para el que se confirma la conjetura es el producto de variedades bidimensionales con signo de curvatura . Como la característica de Euler satisface lo que tiene el signo , la conjetura del signo se confirma en ese caso (si para todo k, entonces y si para todo k, entonces para d par y para d impar, y si uno de los es cero, entonces ) .${\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{d}}$${\displaystyle e_{k}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \chi (M)=\prod _{k=1}^{d}\chi (M_{k})}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{d}e_{k}}$${\displaystyle e_{k}>0}$${\displaystyle \chi (M)>0}$${\displaystyle e_{k}<0}$${\displaystyle \chi (M)>0}$${\displaystyle \chi (M)<0}$${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle \chi (M)=0}$

Automapas de grado 1

Hopf preguntó si todo automapa continuo de una variedad cerrada orientada de grado 1 es necesariamente una equivalencia de homotopía. ^[12]

Es fácil ver que cualquier mapa de grado 1 induce una sobreyección ; si no, entonces factores a través de un espacio de cobertura no trivial, contradiciendo la suposición de grado 1. ${\displaystyle f\colon M\to M}$${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle f}$

Esto implica que la conjetura es válida para los grupos hopfianos , ya que para ellos se obtiene un isomorfismo y, por lo tanto, una equivalencia de homotopía. ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \pi _{1}}$

Sin embargo, existen algunos grupos no hopfianos.

Conjetura del producto para el producto de dos esferas.

Otra famosa pregunta de Hopf es la conjetura del producto Hopf:

¿Puede el 4-manifold llevar una métrica con curvatura positiva?${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$

La conjetura se popularizó en el libro de Gromoll, Klingenberg y Meyer de 1968, ^[13] y se mostró de manera prominente como Problema 1 en la lista de problemas de Yau. ^[8] Shing-Tung Yau formuló allí una nueva observación interesante (que podría reformularse como una conjetura).

No se conoce ningún ejemplo de una variedad compacta, simplemente conectada, de curvatura seccional no negativa que no admita una métrica de curvatura estrictamente positiva.

En la actualidad, la 4-esfera y el plano proyectivo complejo son las únicas 4-variedades simplemente conectadas que se sabe que admiten una métrica de curvatura positiva. Wolfgang Ziller una vez conjeturó que esta podría ser la lista completa y que en la dimensión 5, la única variedad 5 de curvatura positiva simplemente conectada es la 5-esfera . ^[14] Por supuesto, resolver la conjetura del producto Hopf resolvería la cuestión de Yau. Además, la conjetura de Ziller de que y son los únicos 4 colectores de curvatura positiva simplemente conectados resolvería la conjetura del producto de Hopf. Volviendo al caso : se sabe por el trabajo de Jean-Pierre Bourguignon que en la vecindad de la métrica del producto, no hay una métrica de curvatura positiva.${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$^[15] También se sabe por el trabajo de Alan Weinstein que si se da una métricacon curvatura positiva, entonces esta variedad de Riemann no se puede incrustar. ^[16] (De un resultado de Hopf se desprende ya queno es posibleuna incrustación,ya que entonces la variedad tiene que ser una esfera). Una referencia general para las variedades con curvatura seccional no negativa que da muchos ejemplos es ^[17] también como. ^[18] Una conjetura relacionada es que${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$

Un espacio simétrico compacto de rango mayor que uno no puede llevar una métrica de Riemann de curvatura seccional positiva.

Esto también implicaría que no admite métrica de Riemann con curvatura seccional positiva. Entonces, al observar la evidencia y el trabajo realizado hasta ahora, parece que la pregunta de Hopf probablemente será respondida como el enunciado "No hay una métrica de curvatura positiva en " porque hasta ahora, los teoremas de Bourguignon (resultado de perturbación cerca métrica del producto), Hopf (codimensión 1), Weinstein (codimensión 2), así como el teorema de la esfera que excluye las métricas de curvatura positiva pellizcadas, apuntan hacia este resultado. La construcción de una métrica de curvatura positiva en ciertamente sería una sorpresa en la geometría diferencial global, pero aún no se excluye que tal métrica exista.${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$

Finalmente, uno puede preguntarse por qué estaría interesado en un caso tan especial como la conjetura del producto Hopf. El propio Hopf estaba motivado por problemas de la física. Cuando Hopf comenzó a trabajar a mediados de la década de 1920, la teoría de la relatividad tenía solo 10 años y despertó un gran interés en la geometría diferencial, especialmente en la estructura global de 4 variedades, ya que estas variedades aparecen en cosmología como modelos de la universo.

Conjetura de Thurston sobre variedades asféricas (extensión de la conjetura de Hopf)

Hay una conjetura que se relaciona con la conjetura del signo de Hopf pero que no se refiere en absoluto a la geometría de Riemann. Las variedades asféricas son variedades conectadas para las que desaparecen todos los grupos de homotopía superiores. Entonces, la característica de Euler debería satisfacer la misma condición que se supone que satisface una variedad curvada negativamente en la geometría de Riemann:

Suponga que M ^2k es una variedad asférica cerrada de dimensión uniforme. Entonces su característica de Euler satisface la desigualdad ${\displaystyle (-1)^{k}\chi (M^{2k})\geq 0.}$

No puede haber una relación directa con el caso de Riemann, ya que hay variedades asféricas que no son homeomórficas a una variedad de Riemann suave con curvatura de sección negativa.

Esta versión topológica de la conjetura de Hopf se debe a William Thurston . Ruth Charney y Michael Davis conjeturaron que la misma desigualdad es válida para una variedad euclidiana (PE) a trozos curva no positiva.

(No relacionado :) Métricas riemannianas sin puntos conjugados

Hubo un poco de confusión acerca de la palabra `` conjetura de Hopf '', ya que un matemático no relacionado, Eberhard Hopf y contemporáneo de Heinz Hopf, trabajó en temas como los flujos geodésicos ( Eberhard Hopf y Heinz Hopf no están relacionados y es posible que nunca se hayan conocido, incluso así lo fueron). ambos estudiantes de Erhard Schmidt ). Hay un teorema de Eberhard Hopf que establece que si el 2-toro no tiene puntos conjugados, entonces debe ser plano (la curvatura de Gauss es cero en todas partes). ^[19] El teorema de Eberhard Hopf generalizó un teorema de Marston Morse y Gustav Hedlund (un estudiante de doctorado de Morse) de un año antes. ^[20]${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$El problema de generalizar esto a dimensiones superiores también se conoció durante algún tiempo como la conjetura de Hopf. En cualquier caso, esto es ahora un teorema: una métrica de Riemann sin puntos conjugados en el toro n-dimensional es plana. ^[21]

Referencias

1. Chern, Shiing-Shen (1966). "Sobre curvatura y clases características de una variedad de Riemann". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 20 : 117-126. doi : 10.1007 / BF02960745 . Señor  0075647 .
2. Robert Geroch , Curvaturas seccionales positivas no implica integrando positivo de Gauss-Bonnet, Proceedings of the American Mathematical Society , 54, 1976
3. Weinstein, Alan (1970). "N-colectores curvados positivamente en " . Revista de geometría diferencial . 14 (1): 1–4. doi : 10.4310 / jdg / 1214429270 . Señor 0264562 . R n + 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}  
4. Thomas Püttmann y Catherine Searle, La conjetura de Hopf para variedades con baja cohomogeneidad o alto rango de simetría , Proceedings of the American Mathematical Society 130 (2001), no. 1, 163-166.
5. L. Kennard, "Sobre la conjetura de Hopf con simetría, geometría y topología , 17, 2013, páginas 563-593
6. Hopf, Heinz (1932), " Geometría diferencial und topologische Gestalt", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 41 : 209-228
7. Berger, Marcel (2003). Una vista panorámica de la geometría riemanniana . Springer . ISBN 3-540-65317-1.
8. Yau, Shing-Tung (1982), "Sección de problemas", Seminario sobre geometría diferencial , Anales de estudios matemáticos, 102 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , págs. 669–706, ISBN 0-691-08268-5, MR  0645728
9. Heinz Hopf , Sulla geometria riemanniana globale della superficie, Rendiconti del Seminario matematico e fisico di Milano, 1953, páginas 48-63
10. RL Bishop y SI Goldberg, Algunas implicaciones sobre el teorema generalizado de Gauss-Bonnet, Transactions of the American Mathematical Society , 112, páginas 508-545, 1964
11. Shiing-Shen Chern , La geometría de las estructuras G , Boletín de la American Mathematical Society , 72, páginas 167-2019, 1966
12. Jean-Claude Hausmann, situaciones geométricas hopfianas y no hopfianas. Geometría y topología (Athens, Ga., 1985), 157-166, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 105, Dekker, Nueva York, 1987
13. Gromoll, Detlef ; Klingenberg, Wilhelm ; Meyer, Wolfgang (1968). Riemannsche Geometrie im Grossen . Apuntes de clase en matemáticas. 55 . Berlín-Nueva York: Springer Verlag . Señor 0229177 . 
14. Wolfgang Ziller, Manifolds riemannianos con curvatura seccional positiva, Conferencia dictada en Guanajuato de 2010 en: Geometría de Manifolds con curvatura seccional no negativa, Springer , 2014
15. Bourguignon, Jean-Pierre (1975), "Algunas construcciones relacionadas con la conjetura de H. Hopf sobre variedades de productos", Geometría diferencial , Actas de simposios en matemáticas puras, 27 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 33-37, Señor 0380906 
16. Weinstein, Alan (1970). " N- colectores curvados positivamente en " . Revista de geometría diferencial . 4 (1): 1–4. doi : 10.4310 / jdg / 1214429270 . Señor 0264562 . R n + 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}  
17. Wolfgang Ziller, Ejemplos de variedades de Riemann con curvatura seccional no negativa, Surv. Diferir de. Geom., 11, páginas 63-102, International Press, 2007
18. C. Escher y W. Ziller, Topología de variedades con curvas no negativas ", Annals of Global Analysis and Geometry, 46, páginas 23-55, 2014
19. E. Hopf, superficies cerradas sin puntos conjugados, Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 34, página 47-51 (1948)
20. Marston Morse y Gustav A. Hedlund , Manifolds without conjugate points, Transactions of the American Mathematical Society , 51, páginas 362-386, 1942
21. Dmitri Burago y Sergei Ivanov, Los toros riemannianos sin puntos conjugados son planos , Análisis geométrico y funcional 4 (1994), no. 3, 259-269, doi : 10.1007 / BF01896241 , MR 1274115 .