Lema de herradura

---

En álgebra homológica , el lema de herradura , también llamado teorema de resolución simultánea , es un enunciado que relaciona las resoluciones de dos objetos y las resoluciones de las extensiones de by . Dice que si un objeto es una extensión de por , entonces se puede construir una resolución de inductivamente con el n- ésimo elemento en la resolución igual al coproducto del n- ésimo elemento en las resoluciones de y . El nombre del lema proviene de la forma del diagrama que ilustra la hipótesis del lema.${\ Displaystyle A '}$${\ Displaystyle A ''}$${\ Displaystyle A '}$${\ Displaystyle A ''}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A''}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A''}$

Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos . Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

es un diagrama en el que la columna es exacta y las filas son resoluciones proyectivas de y respectivamente, entonces se puede completar en un diagrama conmutativo${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A''}$

donde todas las columnas son exactas, la fila del medio es una resolución proyectiva de y para todos los n . Si es una categoría abeliana con suficientes inyecciones , la declaración dual también es válida.${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{n}=P'_{n}\oplus P''_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El lema se puede probar inductivamente. En cada etapa de la inducción, las propiedades de los objetos proyectivos se utilizan para definir mapas en una resolución proyectiva de . Luego, se invoca el lema de la serpiente para mostrar que la resolución simultánea construida hasta ahora tiene filas exactas.${\displaystyle A}$

Este artículo incorpora material del lema de herradura en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

---