espacio hurewicz

En matemáticas, un espacio de Hurewicz es un espacio topológico que satisface cierto principio básico de selección que generaliza la σ-compacidad . Un espacio de Hurewicz es un espacio en el que para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio hay conjuntos finitos tales que cada punto del espacio pertenece a todos excepto a un número finito de conjuntos . ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ ${\mathcal {F}}_{1}\subconjunto {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subconjunto {\mathcal {U}}_{ 2},\ldots$ $\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\ldots$

En 1926, Witold Hurewicz ^[1] introdujo la propiedad anterior de los espacios topológicos que es formalmente más fuerte que la propiedad de Menger . No sabía si la conjetura de Menger es cierta y si su propiedad es estrictamente más fuerte que la propiedad de Menger, pero conjeturó que en la clase de espacios métricos su propiedad es equivalente a -compacidad. ${\ estilo de visualización \ sigma}$

Hurewicz conjeturó que en ZFC todo espacio métrico de Hurewicz es σ-compacto. Just, Miller, Scheepers y Szeptycki ^[2] probaron que la conjetura de Hurewicz es falsa, mostrando que hay, en ZFC, un conjunto de números reales que es Menger pero no σ-compacto. Su prueba era dicotómica, y el conjunto que presenciaba el fracaso de la conjetura depende en gran medida de si cierto axioma (indecidible) se cumple o no.

Bartoszyński y Shelah ^[3] (ver también la solución de Tsaban basada en su trabajo ^[4] ) dieron un ejemplo ZFC uniforme de un subconjunto de Hurewicz de la línea real que no es σ-compacto.

Hurewicz preguntó si en ZFC su propiedad es estrictamente más fuerte que la propiedad de Menger. En 2002, Chaber y Pol en una nota inédita, usando prueba de dicotomía, demostraron que hay un subconjunto de Hurewicz de la línea real que no es Menger. En 2008, Tsaban y Zdomskyy ^[5] dieron un ejemplo uniforme de un subconjunto de Hurewicz de la línea real que es Menger pero no Hurewicz.