El exponente de Hurst se utiliza como una medida de la memoria a largo plazo de series de tiempo . Se relaciona con las autocorrelaciones de las series de tiempo y la velocidad a la que disminuyen a medida que aumenta el desfase entre pares de valores. Los estudios que involucran al exponente de Hurst se desarrollaron originalmente en hidrología para la cuestión práctica de determinar el tamaño óptimo de la presa para las condiciones volátiles de lluvia y sequía del río Nilo que se habían observado durante un largo período de tiempo. [1] [2] El nombre "exponente de Hurst", o "coeficiente de Hurst", se deriva de Harold Edwin Hurst(1880-1978), quien fue el investigador principal de estos estudios; el uso de la notación estándar H para el coeficiente también se relaciona con su nombre.
En geometría fractal , el exponente de Hurst generalizado ha sido denotado por H o H q en honor a Harold Edwin Hurst y Ludwig Otto Hölder (1859-1937) por Benoît Mandelbrot (1924-2010). [3] H está directamente relacionado con la dimensión fractal , D , y es una medida de la aleatoriedad "leve" o "salvaje" de una serie de datos. [4]
El exponente de Hurst se conoce como "índice de dependencia" o "índice de dependencia de largo alcance". Cuantifica la tendencia relativa de una serie de tiempo a regresar fuertemente a la media o agruparse en una dirección. [5] Un valor H en el rango 0.5-1 indica una serie de tiempo con autocorrelación positiva a largo plazo, lo que significa que un valor alto en la serie probablemente será seguido por otro valor alto y que los valores en el futuro también tenderá a ser alto. Un valor en el rango 0 - 0.5 indica una serie de tiempo con cambio a largo plazo entre valores altos y bajos en pares adyacentes, lo que significa que un único valor alto probablemente será seguido por un valor bajo y que el valor posterior tenderá a ser alto, con esta tendencia a cambiar entre valores altos y bajos que duran mucho tiempo en el futuro. Un valor de H = 0,5 puede indicar una serie completamente no correlacionada, pero de hecho [¿ según quién? ] es el valor aplicable a series para las que las autocorrelaciones en pequeños desfases de tiempo pueden ser positivas o negativas pero donde los valores absolutos de las autocorrelaciones decaen exponencialmente rápidamente a cero. Esto contrasta con el decaimiento típico de la ley de potencia para los casos 0.5 < H <1 y 0 < H <0.5.
Definición
El exponente de Hurst, H , se define en términos del comportamiento asintótico del rango reescalado como una función del lapso de tiempo de una serie de tiempo como sigue; [6] [7]
dónde;
- es el rango de la primera desviaciones acumulativas de la media
- es la serie (suma) de las primeras n desviaciones estándar
- es el valor esperado
- es el lapso de tiempo de la observación (número de puntos de datos en una serie de tiempo)
- es una constante.
Relación con la dimensión fractal
Para la serie de tiempo auto-similares, H está directamente relacionada con la dimensión fractal , D , donde 1 < D <2, de manera que D = 2 - H . Los valores del exponente de Hurst varían entre 0 y 1, y los valores más altos indican una tendencia más suave, menos volatilidad y menos aspereza. [8]
Para series de tiempo más generales o procesos multidimensionales, el exponente de Hurst y la dimensión fractal se pueden elegir de forma independiente, ya que el exponente de Hurst representa la estructura en períodos asintóticamente más largos, mientras que la dimensión fractal representa la estructura en períodos asintóticamente más cortos. [9]
Estimando el exponente
En la literatura se han propuesto varios estimadores de dependencia a largo plazo. El más antiguo y conocido es el análisis de rango reescalado (R / S) popularizado por Mandelbrot y Wallis [3] [10] y basado en hallazgos hidrológicos previos de Hurst. [1] Las alternativas incluyen DFA , la regresión Periodograma, [11] varianzas agregados, [12] estimador de Whittle local, [13] de análisis wavelet, [14] [15] , tanto en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia .
Análisis de rango reescalado (R / S)
Para estimar el exponente de Hurst, primero se debe estimar la dependencia del rango reescalado en el lapso de tiempo n de observación. [7] Una serie de tiempo de longitud completa N se divide en un número de series de tiempo más cortas de longitud n = N , N / 2, N / 4, ... A continuación, se calcula el rango reescalado promedio para cada valor de n .
Para una serie de tiempo (parcial) de duración , , el rango reescalado se calcula de la siguiente manera: [6] [7]
1. Calcule la media ;
2. Cree una serie ajustada a la media;
3. Calcule la serie desviada acumulada. ;
4. Calcule el rango ;
5. Calcule la desviación estándar ;
6. Calcule el rango reescalado y promedio de todas las series temporales parciales de duración
El exponente de Hurst se estima ajustando la ley de potencia a los datos. Esto se puede hacer trazando como una función de , y ajustando una línea recta; la pendiente de la recta da(un enfoque más basado en principios se ajusta a la ley de potencias de una manera de máxima verosimilitud [16] ). Este gráfico se llama diagrama de caja. Sin embargo, se sabe que este enfoque produce estimaciones sesgadas del exponente de la ley de potencias. Para pequeñoshay una desviación significativa de la pendiente de 0,5. Anis y Lloyd [17] estimaron los valores teóricos (es decir, para el ruido blanco) del estadístico R / S en:
dónde es la función gamma de Euler . El exponente de Hurst R / S corregido por Anis-Lloyd se calcula como 0,5 más la pendiente de.
Intervalos de confianza
Hasta ahora, no se ha derivado ninguna teoría de la distribución asintótica para la mayoría de los estimadores de exponentes de Hurst. Sin embargo, Weron [18] utilizó bootstrapping para obtener formas funcionales aproximadas para los intervalos de confianza de los dos métodos más populares, es decir, para el análisis R / S corregido de Anis-Lloyd [17] :
Nivel | Límite inferior | Límite superior |
---|---|---|
90% | 0.5 - exp (−7.35 log (log M) + 4.06) | exp (−7,07 log (log M) + 3,75) + 0,5 |
95% | 0,5 - exp (−7,33 log (log M) + 4,21) | exp (−7.20 log (log M) + 4.04) + 0.5 |
99% | 0,5 - exp (−7,19 log (log M) + 4,34) | exp (−7,51 log (log M) + 4,58) + 0,5 |
y para DFA :
Nivel | Límite inferior | Límite superior |
---|---|---|
90% | 0,5 - exp (−2,99 log M + 4,45) | exp (−3,09 log M + 4,57) + 0,5 |
95% | 0,5 - exp (−2,93 log M + 4,45) | exp (−3,10 log M + 4,77) + 0,5 |
99% | 0.5 - exp (−2.67 log M + 4.06) | exp (−3,19 log M + 5,28) + 0,5 |
Aquí y es la longitud de la serie. En ambos casos solo subseries de longitudfueron considerados para estimar el exponente de Hurst; las subseries de menor longitud dan lugar a una gran variación de las estimaciones de R / S.
Exponente generalizado
El exponente de Hurst básico se puede relacionar con el tamaño esperado de los cambios, como una función del desfase entre observaciones, medido por E (| X t + τ -X t | 2 ). Para la forma generalizada del coeficiente, el exponente aquí se reemplaza por un término más general, denotado por q .
Existe una variedad de técnicas para estimar H , sin embargo, evaluar la precisión de la estimación puede ser un tema complicado. Matemáticamente, en una técnica, el exponente de Hurst se puede estimar de manera que: [19] [20]
- H q = H ( q ),
por una serie de tiempo
- g ( t ) ( t = 1, 2, ...)
puede definirse por las propiedades de escala de sus funciones de estructura S q ():
donde q > 0, es el lapso de tiempo y el promedio es sobre la ventana de tiempo
generalmente la escala de tiempo más grande del sistema.
Prácticamente, en la naturaleza, no hay límite de tiempo y, por lo tanto, H no es determinista, ya que solo puede estimarse en función de los datos observados; por ejemplo, el movimiento diario alcista más dramático jamás visto en un índice bursátil siempre puede superarse durante algún día posterior. [21]
En la técnica de estimación matemática anterior, la función H ( q ) contiene información sobre volatilidades generalizadas promediadas a escala(solo q = 1, 2 se utilizan para definir la volatilidad). En particular, el exponente H 1 indica un comportamiento persistente ( H 1 > ½) o antipersistente ( H 1 <½) de la tendencia.
Para el BRW ( ruido marrón , 1 / f ²) se obtiene
- H q = ½,
y para ruido rosa (1 / f )
- H q = 0.
El exponente de Hurst para el ruido blanco depende de la dimensión, [22] y para 1D y 2D es
- H 1D q = -½, H 2D q = -1.
Para los procesos estables de Lévy populares y los procesos de Lévy truncados con parámetro α se ha encontrado que
- H q = q / α para q < α y H q = 1 para q ≥ α.
El análisis de fluctuación multifractal sin tendencia [23] es un método para estimarde series de tiempo no estacionarias. Cuándoes una funcion no lineal de la q la serie temporal es un sistema multifractal .
Nota
En la definición anterior, se mezclan dos requisitos separados como si fueran uno solo. [24] Estos son los dos requisitos independientes: (i) estacionariedad de los incrementos, x (t + T) -x (t) = x (T) -x (0) en la distribución. Ésta es la condición que produce autocorrelaciones a largo plazo. (ii) La auto-similitud del proceso estocástico produce una escala de varianza, pero no es necesaria para la memoria a largo plazo. Por ejemplo, tanto los procesos de Markov (es decir, los procesos sin memoria) como la escala de movimiento browniano fraccional al nivel de densidades de 1 punto (promedios simples), pero ninguna escala al nivel de correlaciones de pares o, en consecuencia, la densidad de probabilidad de 2 puntos . [ aclaración necesaria ]
Un mercado eficiente requiere una condición de martingala y, a menos que la varianza sea lineal en el tiempo, esto produce incrementos no estacionarios, x (t + T) -x (t) ≠ x (T) -x (0). Las martingalas son markovianas en el nivel de correlaciones de pares, lo que significa que las correlaciones de pares no se pueden usar para vencer a un mercado de martingalas. Los incrementos estacionarios con varianza no lineal, por otro lado, inducen la memoria del par a largo plazo del movimiento browniano fraccional que haría que el mercado fuera vencible a nivel de correlaciones de pares. Un mercado así estaría necesariamente lejos de ser "eficiente".
El economista AF Bariviera lleva a cabo un análisis de series de tiempo económicas mediante el exponente de Hurst utilizando un rango reescalado y un análisis de fluctuación sin tendencia . [25] Este artículo estudia el carácter variable en el tiempo de la dependencia de largo alcance y, por lo tanto, de la eficiencia de la información.
Exponente Hurst también se ha aplicado a la investigación de la dependencia de largo alcance en el ADN , [26] y fotónicos banda prohibida materiales. [27]
Ver también
- Dependencia de largo alcance
- Difusión anómala
- Rango reescalado
- Análisis de fluctuación sin tendencia
Implementaciones
- El código de Matlab para calcular R / S, DFA, regresión de periodograma y estimaciones de ondículas del exponente de Hurst y sus correspondientes intervalos de confianza está disponible en RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
- Implementación de R / S en Python: https://github.com/Mottl/hurst y de DFA y MFDFA en Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
- Código de Matlab para calcular Hurst real y Hurst complejo: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
- La hoja de Excel también se puede utilizar para hacerlo: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator
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