En los procesos estocásticos , teoría del caos y análisis de series temporales , de análisis de fluctuación sin tendencia ( DFA ) es un método para determinar la estadística auto-afinidad de una señal. Es útil para analizar series de tiempo que parecen ser procesos de memoria larga ( tiempo de correlación divergente , por ejemplo, función de autocorrelación decreciente de ley de potencia ) o ruido 1 / f .
El exponente obtenido es similar al exponente de Hurst , excepto que DFA también se puede aplicar a señales cuyas estadísticas subyacentes (como la media y la varianza) o la dinámica no son estacionarias (cambian con el tiempo). Se relaciona con medidas basadas en técnicas espectrales como la autocorrelación y la transformada de Fourier .
Peng y col. introdujo DFA en 1994 en un documento que ha sido citado más de 3.000 veces hasta 2020 [1] y representa una extensión del análisis de fluctuación (ordinario) (FA), que se ve afectado por las no estacionarias.
Cálculo
Dada una serie de tiempo acotada de longitud , dónde , la integración o la suma primero convierte esto en un proceso ilimitado :
dónde denota el valor medio de la serie de tiempo. se llama suma acumulativa o perfil. Este proceso convierte, por ejemplo, un proceso de ruido blanco iid en un paseo aleatorio .
Próximo, se divide en ventanas de tiempo de duración muestras cada una, y se calcula un ajuste de línea recta por mínimos cuadrados locales (la tendencia local) minimizando los errores al cuadrado dentro de cada ventana de tiempo. Dejarindicar la secuencia resultante por partes de ajustes en línea recta. Luego, se calcula la desviación cuadrática media de la tendencia, la fluctuación :
Finalmente, este proceso de eliminación de tendencia seguido de la medición de la fluctuación se repite en un rango de diferentes tamaños de ventana. , y un gráfico log-log de en contra esta construido. [2] [3]
Una línea recta en este gráfico logarítmico indica la autoafinidad estadística expresada como. El exponente de escala se calcula como la pendiente de una línea recta ajustada al gráfico log-log de en contra usando mínimos cuadrados. Este exponente es una generalización del exponente de Hurst . Debido a que el desplazamiento esperado en una caminata aleatoria no correlacionada de longitud N crece como, un exponente de correspondería a ruido blanco no correlacionado. Cuando el exponente está entre 0 y 1, el resultado es un ruido gaussiano fraccional , y el valor preciso proporciona información sobre las autocorrelaciones de la serie:
- : anti-correlacionado
- : ruido blanco no correlacionado
- : correlacionado
- : Ruido 1 / f, ruido rosa
- : no estacionario, ilimitado
- : Ruido browniano
Las tendencias de orden superior pueden eliminarse mediante DFA de orden superior, donde un ajuste lineal se reemplaza por un ajuste polinómico. [4] En el caso descrito, los ajustes lineales () se aplican al perfil, por lo que se denomina DFA1. Para eliminar tendencias de orden superior, DFA, usa ajustes polinomiales de orden . Debido a la suma (integración) de a , las tendencias lineales en la media del perfil representan tendencias constantes en la secuencia inicial, y DFA1 solo elimina dichas tendencias constantes (pasos) en el . En general DFA de pedido elimina las tendencias (polinomiales) de orden . Para tendencias lineales en la media dese necesita al menos DFA2. El análisis Hurst R / S elimina las tendencias constantes en la secuencia original y, por lo tanto, en su destrending es equivalente a DFA1. El método DFA se aplicó a muchos sistemas; por ejemplo, secuencias de ADN, [5] [6] oscilaciones neuronales, [7] detección de patologías del habla, [8] y fluctuación de los latidos del corazón en diferentes etapas del sueño. [9] El efecto de las tendencias en DFA se estudió en [10] y la relación con el método del espectro de potencia se presenta en. [11]
Dado que en la función de fluctuación se usa el cuadrado (raíz), DFA mide el comportamiento de escala de las fluctuaciones del segundo momento, esto significa . La generalización multifractal ( MF-DFA ) [12] utiliza un momento variable y proporciona . Kantelhardt y col. pretendía que este exponente de escala fuera una generalización del exponente clásico de Hurst. El exponente clásico de Hurst corresponde al segundo momento para casos estacionarios y al segundo momento menos 1 para casos no estacionarios . [13] [7] [12]
Relaciones con otros métodos
En el caso de autocorrelaciones decrecientes de ley de potencias, la función de correlación decae con un exponente: . Además, el espectro de potencia decae como. Los tres exponentes están relacionados por: [5]
- y
- .
Las relaciones se pueden derivar utilizando el teorema de Wiener-Khinchin .
Por lo tanto, está vinculado a la pendiente del espectro de potencia y se utiliza para describir el color del ruido mediante esta relación:.
Para ruido gaussiano fraccional (FGN), tenemos, y por lo tanto , y , dónde es el exponente de Hurst . para FGN es igual a . [14]
Para el movimiento browniano fraccional (FBM), tenemos, y por lo tanto , y , dónde es el exponente de Hurst . para FBM es igual a . [13] En este contexto, FBM es la suma acumulada o la integral de FGN, por lo que los exponentes de sus espectros de potencia difieren en 2.
Errores de interpretación
Como ocurre con la mayoría de los métodos que dependen del ajuste de la línea, siempre es posible encontrar un número por el método DFA, pero esto no implica necesariamente que la serie de tiempo sea auto-similar. La autosimilitud requiere que los puntos en el gráfico log-log sean lo suficientemente colineales en una amplia gama de tamaños de ventana. Además, se ha demostrado que una combinación de técnicas que incluyen MLE, en lugar de mínimos cuadrados, se aproxima mejor al exponente de escala, o ley de potencias. [15]
Además, hay muchas cantidades similares a exponentes de escala que se pueden medir para una serie de tiempo auto-similar, incluida la dimensión del divisor y el exponente de Hurst . Por lo tanto, el exponente de escala de DFAno es una dimensión fractal que comparte todas las propiedades deseables de la dimensión de Hausdorff , por ejemplo, aunque en ciertos casos especiales se puede demostrar que está relacionada con la dimensión de recuento de cajas para el gráfico de una serie de tiempo.
Análisis de fluctuación multifractal y multifractal sin tendencia
No siempre es el caso que los exponentes de escala sean independientes de la escala del sistema. En el caso depende del poder extraído de
donde está el DFA anterior . Los sistemas multifractales se escalan como una función. Para descubrir la multifractalidad, un método posible es el análisis de fluctuación multifractal sin tendencia. [dieciséis]
Ver también
- Sistema multifractal
- Criticidad autoorganizada
- Autoafinidad
- Análisis de series temporales
- Exponente de Hurst
Referencias
- ^ Peng, CK; et al. (1994). "Organización en mosaico de nucleótidos del ADN" . Phys. Rev. E . 49 (2): 1685–1689. Código Bibliográfico : 1994PhRvE..49.1685P . doi : 10.1103 / physreve.49.1685 . PMID 9961383 . S2CID 3498343 .
- ^ Peng, CK; et al. (1994). "Cuantificación de exponentes de escala y fenómenos de cruce en series de tiempo de latidos no estacionarios". Caos . 49 (1): 82–87. Código Bibliográfico : 1995Chaos ... 5 ... 82P . doi : 10.1063 / 1.166141 . PMID 11538314 . S2CID 722880 .
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enlaces externos
- Tutorial sobre cómo calcular el análisis de fluctuación sin tendencia en Matlab utilizando la Caja de herramientas de biomarcadores neurofisiológicos .
- FastDFA código MATLAB para calcular rápidamente el exponente de escala de DFA en conjuntos de datos muy grandes.
- Physionet Una buena descripción general del código DFA y C para calcularlo.
- Implementación de MFDFA Python del análisis de fluctuación sin tendencia (multifractal).