Polinomio de Hurwitz

En matemáticas , un polinomio de Hurwitz , llamado así por Adolf Hurwitz , es un polinomio cuyas raíces (ceros) están ubicadas en el semiplano izquierdo del plano complejo o en el eje imaginario, es decir, la parte real de cada raíz es cero o negativo. ^[1] Dicho polinomio debe tener coeficientes que sean números reales positivos . El término a veces se restringe a polinomios cuyas raíces tienen partes reales que son estrictamente negativas, excluyendo el eje imaginario (es decir, un polinomio estable de Hurwitz ). ^{[2] [3]}

Se dice que una función polinomial P ( s ) de una variable compleja s es Hurwitz si se cumplen las siguientes condiciones:

1. P ( s ) es real cuando s es real.

2. Las raíces de P ( s ) tienen partes reales que son cero o negativas.

Los polinomios de Hurwitz son importantes en la teoría de los sistemas de control porque representan las ecuaciones características de los sistemas lineales estables . Si un polinomio es Hurwitz se puede determinar resolviendo la ecuación para encontrar las raíces, o a partir de los coeficientes sin resolver la ecuación mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz .

Ejemplos de

Un ejemplo simple de un polinomio de Hurwitz es:

${\displaystyle x^{2}+2x+1.}$

La única solución real es −1, porque factoriza como

${\displaystyle (x+1)^{2}.}$

En general, todos los polinomios cuadráticos con coeficientes positivos son Hurwitz. Esto se sigue directamente de la fórmula cuadrática :

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$

donde, si el discriminante b ² -4 ac es menor que cero, entonces el polinomio tendrá dos complejos conjugados soluciones con parte real - b / 2 a , que es negativo para el positivo una y b . Si el discriminante es igual a cero, habrá dos soluciones reales coincidentes en - b / 2 a . Por último, si el discriminante es mayor que cero, habrá dos soluciones reales negativas, porque para positivo un , b y c .${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}<b}$

Propiedades

Para que un polinomio sea Hurwitz, es necesario, pero no suficiente, que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios cuadráticos, que tampoco implican suficiencia). Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea Hurwitz es que pase el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Un polinomio dado puede probarse eficientemente para ser Hurwitz o no mediante el uso de la técnica de expansión de fracción continua de Routh.

Referencias

1. Kuo, Franklin F. (1966). Análisis y síntesis de redes, 2ª Ed . John Wiley e hijos. págs. 295-296. ISBN 0471511188.
2. Weisstein, Eric W (1999). "Polinomio de Hurwitz" . Wolfram Mathworld . Wolfram Research . Consultado el 3 de julio de 2013 .
3. Reddy, Hari C. (2002). "Teoría de los polinomios bidimensionales de Hurwitz" . El manual de circuitos y filtros, 2ª ed . Prensa CRC. págs. 260–263. ISBN 1420041401. Consultado el 3 de julio de 2013 .

• Wayne H. Chen (1964) Diseño y síntesis de redes lineales , página 63, McGraw Hill .