En la teoría de sistemas de control , el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es una prueba matemática que es una condición necesaria y suficiente para la estabilidad de un sistema de control invariante en el tiempo lineal (LTI) . La prueba de Routh es un algoritmo recursivo eficiente que el matemático inglés Edward John Routh propuso en 1876 para determinar si todas las raíces del polinomio característico de un sistema lineal tienen partes reales negativas. [1] Matemático alemán Adolf Hurwitzpropuso independientemente en 1895 organizar los coeficientes del polinomio en una matriz cuadrada, llamada matriz de Hurwitz , y demostró que el polinomio es estable si y solo si la secuencia de determinantes de sus submatrices principales son todas positivas. [2] Los dos procedimientos son equivalentes, y la prueba de Routh proporciona una forma más eficiente de calcular los determinantes de Hurwitz que calcularlos directamente. Un polinomio que satisface el criterio de Routh-Hurwitz se denomina polinomio de Hurwitz .
La importancia del criterio es que las raíces p de la ecuación característica de un sistema lineal con partes reales negativas representan soluciones e pt del sistema que son estables ( acotadas ). Por lo tanto, el criterio proporciona una forma de determinar si las ecuaciones de movimiento de un sistema lineal tienen solo soluciones estables, sin resolver el sistema directamente. Para sistemas discretos, la prueba de estabilidad correspondiente puede manejarse mediante el criterio de Schur-Cohn, la prueba de Jury y la prueba de Bistritz . Con la llegada de las computadoras, el criterio se ha vuelto menos utilizado, como una alternativa es resolver el polinomio numéricamente, obteniendo aproximaciones a las raíces directamente.
La prueba de Routh se puede derivar mediante el uso del algoritmo euclidiano y el teorema de Sturm para evaluar los índices de Cauchy . Hurwitz derivó sus condiciones de manera diferente. [3]
Usando el algoritmo de Euclid
El criterio está relacionado con el teorema de Routh-Hurwitz . A partir del enunciado de ese teorema, tenemos dónde:
- es el número de raíces del polinomio con parte real negativa;
- es el número de raíces del polinomio con parte real positiva (según el teorema, se supone que no tiene raíces en la línea imaginaria);
- w ( x ) es el número de variaciones de la cadena de Sturm generalizada obtenida de y (por sucesivas divisiones euclidianas ) dondepara una verdadera y .
Según el teorema fundamental del álgebra , cada polinomio de grado n debe tener n raíces en el plano complejo (es decir, para una f sin raíces en la línea imaginaria, p + q = n ). Por lo tanto, tenemos la condición de que ƒ es un (Hurwitz) polinomio estable si y sólo si p - q = n (la prueba se da a continuación). Usando el teorema de Routh-Hurwitz, podemos sustituir la condición de p y q por una condición en la cadena de Sturm generalizada, lo que dará a su vez una condición sobre los coeficientes de ƒ .
Usando matrices
Sea f ( z ) un polinomio complejo. El proceso es el siguiente:
- Calcule los polinomios y tal que donde y es un número real.
- Calcule la matriz de Sylvester asociada a y .
- Reorganice cada fila de tal manera que una fila impar y la siguiente tengan el mismo número de ceros a la izquierda.
- Calcule cada menor principal de esa matriz.
- Si al menos uno de los menores es negativo (o cero), entonces el polinomio f no es estable.
Ejemplo
- Dejar (en aras de la simplicidad, tomamos coeficientes reales) donde (para evitar una raíz en cero para que podamos usar el teorema de Routh-Hurwitz). Primero, tenemos que calcular los polinomios reales y :
- A continuación, dividimos esos polinomios para obtener la cadena de Sturm generalizada:
- rendimientos
- rendimientos y la división euclidiana se detiene.
Observe que tuvimos que suponer b diferente de cero en la primera división. La cadena de Sturm generalizada es en este caso. Poniendo, el signo de es el signo opuesto de un y el signo de por es el signo de b . Cuando ponemos, El signo del primer elemento de la cadena es de nuevo el signo opuesto de un y el signo de por es el signo opuesto de b . Finalmente, - c siempre tiene el signo opuesto de c .
Supongamos ahora que f es estable en Hurwitz. Esto significa que(el grado de f ). Por las propiedades de la función w , esto es lo mismo que y . Por lo tanto, un , b y c tienen que tener el mismo signo. Por tanto, hemos encontrado la condición necesaria de estabilidad para polinomios de grado 2.
Criterio de Routh-Hurwitz para polinomios de segundo y tercer orden
- El polinomio de segundo grado tiene ambas raíces en el semiplano izquierdo abierto (y el sistema con ecuación característica es estable) si y solo si ambos coeficientes satisfacen .
- El polinomio de tercer orden tiene todas las raíces en el semiplano izquierdo abierto si y solo si , son positivos y
- En general, el criterio de estabilidad de Routh establece que un polinomio tiene todas las raíces en el semiplano izquierdo abierto si y solo si todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh tienen el mismo signo.
Ejemplo de orden superior
Se puede utilizar un método tabular para determinar la estabilidad cuando las raíces de un polinomio característico de orden superior son difíciles de obtener. Para un polinomio de n -ésimo grado
la tabla tiene n + 1 filas y la siguiente estructura:
donde los elementos y se puede calcular de la siguiente manera:
Cuando se complete, el número de cambios de signo en la primera columna será el número de raíces no negativas.
0,75 | 1,5 | 0 | 0 |
-3 | 6 | 0 | 0 |
3 | 0 | 0 | 0 |
6 | 0 | 0 | 0 |
En la primera columna, hay dos cambios de signo (0,75 → −3 y −3 → 3), por lo que hay dos raíces no negativas donde el sistema es inestable.
La ecuación característica de un servosistema viene dada por: [4]
0 | |||
---|---|---|---|
0 | 0 | ||
= | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 |
para la estabilidad, todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos. Entonces, las condiciones que deben cumplirse para la estabilidad del sistema dado son las siguientes: [4]
Vemos que si
luego
Está satisfecho.
Tenemos la siguiente tabla:
1 | 11 | 200 | 0 |
0 | 0 | ||
0 | 0 | ||
-19 | 0 | 0 | 0 |
20 | 0 | 0 | 0 |
hay dos cambios de signo. El sistema es inestable, ya que tiene dos polos semiplano derecho y dos polos semiplano izquierdo. El sistema no puede tener jω polos ya que no aparece una fila de ceros en la tabla de Routh. [5]
A veces, la presencia de polos en el eje imaginario crea una situación de estabilidad marginal. En ese caso, los coeficientes de la "matriz de Routh" en una fila completa se vuelven cero y, por lo tanto, no es posible una solución adicional del polinomio para encontrar cambios de signo. Entonces entra en juego otro enfoque. La fila del polinomio que está justo encima de la fila que contiene los ceros se llama "polinomio auxiliar".
Tenemos la siguiente tabla:
1 | 8 | 20 | dieciséis |
2 | 12 | dieciséis | 0 |
2 | 12 | dieciséis | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
En tal caso, el polinomio auxiliar es que es nuevamente igual a cero. El siguiente paso es diferenciar la ecuación anterior que produce el siguiente polinomio.. Los coeficientes de la fila que contiene cero ahora se convierten en "8" y "24". El proceso de la matriz de Routh se lleva a cabo utilizando estos valores que producen dos puntos en el eje imaginario. Estos dos puntos del eje imaginario son la causa principal de la estabilidad marginal. [6]
Ver también
- Ingeniería de control
- Derivación de la matriz de Routh
- Criterio de estabilidad de Nyquist
- Teorema de Routh-Hurwitz
- Lugar de las raíces
- Función de transferencia
- Criterio de Liénard-Chipart (variante que requiere menos cálculos)
- Teorema de Kharitonov (variante para coeficientes desconocidos acotados dentro de intervalos)
- Criterio de estabilidad del jurado (analógico para sistemas LTI de tiempo discreto)
- Criterio de estabilidad de Bistritz (analógico para sistemas LTI de tiempo discreto)
Referencias
- ↑ Routh, EJ (1877). Un tratado sobre la estabilidad de un estado de movimiento dado: movimiento particularmente estable . Macmillan.
- ^ Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt". Matemáticas. Ana. 46 (2): 273–284. doi : 10.1007 / BF01446812 .(Traducción al inglés "Sobre las condiciones bajo las cuales una ecuación tiene sólo raíces con partes reales negativas" de HG Bergmann en Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory R. Bellman y R. Kalaba Eds. Nueva York: Dover, 1964 págs. 70– 82.)
- ^ Gopal, M. (2002). Sistemas de control: Principios y diseño, 2ª Ed . Educación de Tata McGraw-Hill. pag. 14. ISBN 0070482896.
- ^ a b c KUMAR, Anand (2007). SISTEMAS DE CONTROL . Aprendizaje PHI. ISBN 9788120331976.
- ^ a b Nise, Norman (2015). Ingeniería de Sistemas de Control . Wiley. ISBN 9781118800829.
- ^ Saeed, Syed Hasan (2008). Sistemas de control automático . Delhi: Katson Publishers. págs. 206, 207. ISBN 978-81-906919-2-5.
- Felix Gantmacher (traductor de JL Brenner) (1959) Aplicaciones de la teoría de matrices , págs. 177–80, Nueva York: Interscience.
- Pippard, AB; Dicke, RH (1986). "Respuesta y estabilidad, una introducción a la teoría física" . Revista estadounidense de física . 54 (11): 1052. Código bibliográfico : 1986AmJPh..54.1052P . doi : 10.1119 / 1.14826 . Archivado desde el original el 14 de mayo de 2016 . Consultado el 7 de mayo de 2008 .
- Richard C. Dorf , Robert H. Bishop (2001). Modern Control Systems (9ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6.
- Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. 26 . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006 .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Routh-Hurwitz" . MathWorld: un recurso web de Wolfram .
enlaces externos
- Un script de MATLAB que implementa la prueba de Routh-Hurwitz
- Implementación en línea del Criterio de Routh-Hurwitz