En el contexto del polinomio característico de una ecuación diferencial o ecuación en diferencias , se dice que un polinomio es estable si:
- todas sus raíces se encuentran en el semiplano izquierdo abierto , o
- todas sus raíces se encuentran en el disco unitario abierto .
La primera condición proporciona estabilidad para sistemas lineales de tiempo continuo , y el segundo caso se relaciona con la estabilidad de sistemas lineales de tiempo discreto . Un polinomio con la primera propiedad se llama a veces un polinomio de Hurwitz y con la segunda propiedad un polinomio de Schur . Los polinomios estables surgen en la teoría de control y en la teoría matemática de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Se dice que un sistema lineal invariante en el tiempo (ver la teoría del sistema LTI ) es BIBO establesi cada entrada acotada produce una salida acotada. Un sistema lineal es BIBO estable si su polinomio característico es estable. Se requiere que el denominador sea Hurwitz estable si el sistema está en tiempo continuo y Schur estable si está en tiempo discreto. En la práctica, la estabilidad se determina aplicando uno de varios criterios de estabilidad .
Propiedades
- El teorema de Routh-Hurwitz proporciona un algoritmo para determinar si un polinomio dado es estable de Hurwitz, que se implementa en las pruebas de Routh-Hurwitz y Liénard-Chipart .
- Para probar si un polinomio dado P (de grado d ) es estable de Schur, basta con aplicar este teorema al polinomio transformado
- obtenido después de la transformación de Möbiusque mapea el semiplano izquierdo al disco unitario abierto: P es Schur estable si y solo si Q es Hurwitz estable y . Para polinomios de mayor grado, el cálculo adicional involucrado en este mapeo se puede evitar probando la estabilidad de Schur mediante la prueba de Schur-Cohn, la prueba de Jury o la prueba de Bistritz .
- Condición necesaria: un polinomio estable de Hurwitz (con coeficientes reales ) tiene coeficientes del mismo signo (todos positivos o todos negativos).
- Condición suficiente: un polinomio con coeficientes (reales) tales que
- es Schur estable.
- Regla del producto: dos polinomios f y g son estables (del mismo tipo) si y solo si el producto fg es estable.
- Producto de Hadamard: El producto de Hadamard (coeficiente) de dos polinomios estables de Hurwitz vuelve a ser estable de Hurwitz. [1]
Ejemplos de
- es Schur estable porque satisface la condición suficiente;
- ¿Es Schur estable (porque todas sus raíces son iguales a 0) pero no satisface la condición suficiente?
- no es Hurwitz estable (sus raíces son -1 y 2) porque viola la condición necesaria;
- Hurwitz es estable (sus raíces son -1 y -2).
- El polinomio (con coeficientes positivos) no es ni Hurwitz estable ni Schur estable. Sus raíces son las cuatro quintas raíces primitivas de la unidad.
- Tenga en cuenta aquí que
- Es un "caso límite" para la estabilidad de Schur porque sus raíces se encuentran en el círculo unitario. El ejemplo también muestra que las condiciones necesarias (positividad) mencionadas anteriormente para la estabilidad de Hurwitz no son suficientes.
Ver también
Referencias
- ^ Garloff, Jürgen; Wagner, David G. (1996). "Los productos de Hadamard de polinomios estables son estables". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 202 (3): 797–809. doi : 10.1006 / jmaa.1996.0348 .